Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=2a.$
(Tham khảo hình vẽ dưới)
Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a}{3}.$
B. $\dfrac{2a}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{4a}{9}.$
Trong mặt phẳng $\left( SAO \right)$, gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SO$.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BD \\
& AH\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH.$
$\Delta SAO$ vuông tại $A$, $AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2a}{3}.$
(Tham khảo hình vẽ dưới)
A. $\dfrac{a}{3}.$
B. $\dfrac{2a}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{4a}{9}.$
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BD \\
& AH\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH.$
$\Delta SAO$ vuông tại $A$, $AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2a}{3}.$
Đáp án B.