Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ ; góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính theo a thể tích khối chóp $S.ABCD $.
A. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $3\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Vì hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ nên $SA\bot \left( ABCD \right)$
Suy ra $\left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCA}={{60}^{0}}$
Vì đáy $\left( ABCD \right)$ là hình vuông nên $\left\{ \begin{aligned}
& AC=a\sqrt{2} \\
& {{S}_{ABCD}}={{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $. Ta có: $ \tan {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{AC}\Rightarrow SA=\tan {{60}^{0}}.AC=a\sqrt{6}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{6}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
A. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $3\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Vì hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ nên $SA\bot \left( ABCD \right)$
Suy ra $\left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCA}={{60}^{0}}$
Vì đáy $\left( ABCD \right)$ là hình vuông nên $\left\{ \begin{aligned}
& AC=a\sqrt{2} \\
& {{S}_{ABCD}}={{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $. Ta có: $ \tan {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{AC}\Rightarrow SA=\tan {{60}^{0}}.AC=a\sqrt{6}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{6}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án C.