Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tan góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng
A. $\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $1$ .
+) $IC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow $ góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SCI}$.
$I$ là trung điểm $AB$ của tam giác đều $SAB$ nên $SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $BIC$ vuông tại $B$ nên $IC=\sqrt{B{{C}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Tam giác $SIC$ vuông tại $I$ nên $\tan \widehat{SCI}=\dfrac{SI}{IC}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
A. $\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $1$ .
+) $IC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow $ góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SCI}$.
$I$ là trung điểm $AB$ của tam giác đều $SAB$ nên $SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $BIC$ vuông tại $B$ nên $IC=\sqrt{B{{C}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Tam giác $SIC$ vuông tại $I$ nên $\tan \widehat{SCI}=\dfrac{SI}{IC}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án B.