Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a, tam giác $SAB$ cân tại $S$, tam giác $SAC$ vuông tại $A$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$, vuông góc với $\left( SBD \right)$ và tạo với $AD$ một góc lớn nhất bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Dựng $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $SA=SB\Rightarrow HA=HB\Rightarrow H$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
$SA\bot AC\Rightarrow AC\bot \left( SHA \right)\Rightarrow H$ thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với AC.
Giả sử $AK\bot \left( SBD \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A, vuông góc với $\left( SBD \right)$ phải chứa AK.
Quan sát hình vẽ thấy ${{\widehat{\left( \left( P \right),AD \right)}}_{\max }}=\widehat{\left( AD,AK \right)}$ suy ra $\left( P \right)\bot DK$ và $\measuredangle DAK=60{}^\circ $.
Suy ra $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AK=AD.\cos 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}$.
Dựng $HI\bot SB\Rightarrow HI=d\left( H,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a}{2}$, khi đó $SH=\dfrac{HB.HI}{\sqrt{H{{B}^{2}}-H{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy thể tích khối chóp S.ABC: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Ta có $SA=SB\Rightarrow HA=HB\Rightarrow H$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
$SA\bot AC\Rightarrow AC\bot \left( SHA \right)\Rightarrow H$ thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với AC.
Giả sử $AK\bot \left( SBD \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A, vuông góc với $\left( SBD \right)$ phải chứa AK.
Suy ra $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AK=AD.\cos 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}$.
Dựng $HI\bot SB\Rightarrow HI=d\left( H,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a}{2}$, khi đó $SH=\dfrac{HB.HI}{\sqrt{H{{B}^{2}}-H{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy thể tích khối chóp S.ABC: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Đáp án D.