Google
Câu hỏi: : Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD.$
Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $HM\bot AD$ và $HM=a.$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& CD\bot HM \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right)\Rightarrow CD\bot SM.$
Khi đó $\left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( SM,HM \right)=\widehat{SMH}={{60}^{0}}$.
Suy ra $SH=HM.\tan \widehat{SMH}=a.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ (đvtt).
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD.$
Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $HM\bot AD$ và $HM=a.$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& CD\bot HM \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right)\Rightarrow CD\bot SM.$
Khi đó $\left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( SM,HM \right)=\widehat{SMH}={{60}^{0}}$.
Suy ra $SH=HM.\tan \widehat{SMH}=a.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ (đvtt).
Đáp án A.