Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{3},$ hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( ABCD \right)$ là trung điểm của cạnh $AD,$ đường thẳng $SD$ tạo với đáy một góc bằng ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng:
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}.$
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}.$
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
Phương pháp:
- Xác định góc giữa $SD$ và đáy là góc giữa $SD$ và hình chiếu vuông góc của $SD$ lên mặt đáy, từ đó tính chiều
cao của khối chóp.
- Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}Bh$ với $B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của khối chóp.
Cách giải:
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ ta có $SM\bot \left( ABCD \right)\left( gt \right).$
Khi đó $\angle \left( SD;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD;MD \right)=\angle SDM={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow SM=DM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}.$
- Xác định góc giữa $SD$ và đáy là góc giữa $SD$ và hình chiếu vuông góc của $SD$ lên mặt đáy, từ đó tính chiều
cao của khối chóp.
- Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}Bh$ với $B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của khối chóp.
Cách giải:
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ ta có $SM\bot \left( ABCD \right)\left( gt \right).$
Khi đó $\angle \left( SD;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD;MD \right)=\angle SDM={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow SM=DM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}.$
Đáp án B.