Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA$...

Phương pháp:
- Tính tỉ số $\dfrac{SI}{SC}$.
- Sử dụng công thức tỉ số thể tích: Cho tứ diện $S.ABC$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt nằm trên các cạnh
$\dfrac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}\cdot \dfrac{SN}{SB}\cdot \dfrac{SP}{SC}$.
- Tính tỉ số thể tích $\dfrac{{{V}_{S.AMNI}}}{{{V}_{S,ABCD}}}$ để tính thể tích khối $ABCDMNI.$
Cách giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Trong mặt phẳng $\left( SBD \right),$ gọi $K=SO\cap MN$.
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right),$ gọi $I=AK\cap SC$, suy ra $I$ chính là giao điểm của $SC$ và $mp\left( AMN \right)$.
Ta có:
$MN$ là đường trung bình trong tam giác $SBD$, suy ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
MN\|BD \\
MN=\dfrac{1}{2}BD \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow NK\|DO\Rightarrow \dfrac{SK}{SO}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{1}{2}.$
Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác SOC có cát tuyến $AKI$ :
$\dfrac{SI}{IC}.\dfrac{AC}{AO}.\dfrac{KO}{KS}=1\Leftrightarrow \dfrac{SI}{IC}.2.1=1\Rightarrow \dfrac{SI}{IC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{SI}{SC}=\dfrac{1}{3}$
Ta có:
$\dfrac{{{V}_{S.ANI}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SI}{SC}=1.\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
$\Rightarrow {{V}_{S.ANI}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{12}{{V}_{S.ABCD}}$
$\dfrac{{{V}_{S.AIM}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SI}{SC}.\dfrac{SM}{SB}=1.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Rightarrow {{V}_{S.AIM}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ANI}}=\dfrac{1}{12}{{V}_{S.ABCD}} \\
\Rightarrow {{V}_{S.ANIM}}={{V}_{S.ANI}}+{{V}_{AIM}}=\dfrac{1}{12}{{V}_{S.ABCD}}+\dfrac{1}{12}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ABCD}} \\
\end{array}$
$\Rightarrow {{V}_{ABCDMNI}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.ANIM}}=\dfrac{5}{6}{{V}_{S.ABCD.}}$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
Vậy thể tích của khối đa diện $ABCDMNI$ là: ${{V}_{ABCDMNI}}=\dfrac{5}{6}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{18}$.