Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Gọi $\alpha $ là góc giữa $SD$ và $\left( SAC \right)$. Giá trị $\sin \alpha $ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $O=AC\cap BD$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DO\bot AC \\
& DO\bot SA \left( SA\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DO\bot \left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow SO$ là hình chiếu của $SD$ lên mặt phẳng $\left( SAC \right)$ $\Rightarrow \widehat{\left( SD; \left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( SD; SO \right)}=\widehat{DSO}=\alpha $.
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$ : $SD=\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a$.
Xét $\Delta SOD$ vuông tại $O$ : có $SD=2a$, $OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \sin \alpha =\sin \widehat{DSO}=\dfrac{DO}{SD}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $O=AC\cap BD$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DO\bot AC \\
& DO\bot SA \left( SA\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DO\bot \left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow SO$ là hình chiếu của $SD$ lên mặt phẳng $\left( SAC \right)$ $\Rightarrow \widehat{\left( SD; \left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( SD; SO \right)}=\widehat{DSO}=\alpha $.
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$ : $SD=\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a$.
Xét $\Delta SOD$ vuông tại $O$ : có $SD=2a$, $OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \sin \alpha =\sin \widehat{DSO}=\dfrac{DO}{SD}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
Đáp án A.