Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy $ABCD$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $ABCD$ bằng ${{60}^{0}}$. Gọi $M , N$ lần lượt là trung điểm của $SB , SC$. Tính thể tích khối chóp $S.ADNM$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}$.
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
Gọi $O=AC\cap BD$.
$AO\bot BD\Rightarrow SO\bot BD$. Nên góc của $\left( SBD \right)$ và $ABCD$ là góc $\widehat{SOA}={{60}^{0}}$.
${{V}_{S.ADN}}=\dfrac{1}{2}.{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{4}.{{V}_{S.ABCD}}$ và ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ADMN}}={{V}_{S.ADN}}+{{V}_{S.AMN}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S.ABCD}}$.
$SA=AO.\tan \widehat{SOA}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ADMN}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}$.
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
$AO\bot BD\Rightarrow SO\bot BD$. Nên góc của $\left( SBD \right)$ và $ABCD$ là góc $\widehat{SOA}={{60}^{0}}$.
${{V}_{S.ADN}}=\dfrac{1}{2}.{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{4}.{{V}_{S.ABCD}}$ và ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ADMN}}={{V}_{S.ADN}}+{{V}_{S.AMN}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S.ABCD}}$.
$SA=AO.\tan \widehat{SOA}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ADMN}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
Đáp án A.