Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , $S A$ ...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh

a

,

S A

vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa

S C

với mặt phẳng

(S A B)

bằng

30^{o}

. Gọi

M

là điểm di động trên cạnh

C D

và

H

là hình chiếu vuông góc của

S

trên đường thẳng

B M

. Khi điểm

M

di động trên cạnh

C D

thì thể tích của khối chóp

S . A B H

đạt giá trị lớn nhất bằng
A.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .

B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2} .

D.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .

Góc giữa

S C

và

(S B C)

là

\hat{C S B} \Rightarrow \hat{C S B} = 30^{o}

Ta có

\tan \hat{C S B} = \frac{B C}{S B} \Rightarrow S B = a \sqrt{3}; S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = a \sqrt{2}

Đặt

C M = x

(với

0 \leq x \leq a) \Rightarrow D M = a - x

Ta có

{\begin{aligned} B M ⊥ S H \\ B M ⊥ S A \end{aligned} \Rightarrow B M ⊥ (S A H) \Rightarrow B M ⊥ A H

Ta có:

S_{Δ B M C} = \frac{1}{2} B C . C M = \frac{1}{2} a x;

\begin{aligned} S_{Δ A D M} = \frac{1}{2} A D . D M = \frac{1}{2} a (a - x) \\ S_{Δ A B M} = S_{A B C D} - S_{Δ A M C} - S_{Δ A D M} = \frac{a^{2}}{2} \end{aligned}

Ta có

S_{Δ A B M} = \frac{1}{2} A H . B M \Rightarrow A H = \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}, B H = \sqrt{A B^{2} - A H^{2}} = \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

Thể tích của khối chóp

S . A B H

là:

V = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B H} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} B H . A H

= \frac{1}{6} a \sqrt{2} . \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} . \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{6} a^{4} . \frac{x}{a^{2} + x^{2}}

Xét hàm số

f (x) = \frac{x}{a^{2} + x^{2}}

với

x \in [0; a]

Ta có

f^{'} (x) = \frac{a^{2} - x^{2}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}}; f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = a

Trên đoạn

[0; a]

ta có

f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in [0; a]

Vậy giá trị lớn nhất của V tại

x = a \Rightarrow V_{max} = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3} .

Ngoài ra, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm

V_{max}

, thật vậy ta có:

V = \frac{\sqrt{2}}{6} a^{4} . \frac{x}{a^{2} + x^{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{6} a^{4} . \frac{1}{2 a} = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12} .

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA...