Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa $SC$ với mặt phẳng $(SAB)$ bằng ${{30}^{o}}$. Gọi $M$ là điểm di động trên cạnh $CD$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên đường thẳng $BM$. Khi điểm $M$ di động trên cạnh $CD$ thì thể tích của khối chóp $S.ABH$ đạt giá trị lớn nhất bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Góc giữa $SC$ và $(SBC)$ là $\widehat{CSB}\Rightarrow \widehat{CSB}={{30}^{o}}$
Ta có $\tan \widehat{CSB}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=a\sqrt{3}; SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Đặt $CM=x$ (với $0\le x\le a)\Rightarrow DM=a-x$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot SH \\
& BM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot (SAH)\Rightarrow BM\bot AH$
Ta có: ${{S}_{\Delta BMC}}=\dfrac{1}{2}BC.CM=\dfrac{1}{2}ax;$
$\begin{aligned}
& {{S}_{\Delta ADM}}=\dfrac{1}{2}AD.DM=\dfrac{1}{2}a\left( a-x \right) \\
& {{S}_{\Delta ABM}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta AMC}}-{{S}_{\Delta ADM}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \\
\end{aligned}$
Ta có ${{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{2}AH.BM\Rightarrow AH=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}, BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$
Thể tích của khối chóp $S.ABH$ là: $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}BH.AH$
$=\dfrac{1}{6}a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{4}}.\dfrac{x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ với $x\in [0;a]$
Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}};f'\left( x \right)=0\Rightarrow x=a$
Trên đoạn $\left[ 0;a \right]$ ta có $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in [0;a]$
Vậy giá trị lớn nhất của V tại $x=a\Rightarrow {{V}_{\max }}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}.$
Ngoài ra, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm ${{V}_{\max }}$, thật vậy ta có:
$V=\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{4}}.\dfrac{x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{4}}.\dfrac{1}{2a}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Góc giữa $SC$ và $(SBC)$ là $\widehat{CSB}\Rightarrow \widehat{CSB}={{30}^{o}}$
Ta có $\tan \widehat{CSB}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=a\sqrt{3}; SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Đặt $CM=x$ (với $0\le x\le a)\Rightarrow DM=a-x$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot SH \\
& BM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot (SAH)\Rightarrow BM\bot AH$
Ta có: ${{S}_{\Delta BMC}}=\dfrac{1}{2}BC.CM=\dfrac{1}{2}ax;$
$\begin{aligned}
& {{S}_{\Delta ADM}}=\dfrac{1}{2}AD.DM=\dfrac{1}{2}a\left( a-x \right) \\
& {{S}_{\Delta ABM}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta AMC}}-{{S}_{\Delta ADM}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \\
\end{aligned}$
Ta có ${{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{2}AH.BM\Rightarrow AH=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}, BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$
Thể tích của khối chóp $S.ABH$ là: $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}BH.AH$
$=\dfrac{1}{6}a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{4}}.\dfrac{x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ với $x\in [0;a]$
Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}};f'\left( x \right)=0\Rightarrow x=a$
Trên đoạn $\left[ 0;a \right]$ ta có $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in [0;a]$
Vậy giá trị lớn nhất của V tại $x=a\Rightarrow {{V}_{\max }}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}.$
Ngoài ra, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm ${{V}_{\max }}$, thật vậy ta có:
$V=\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{4}}.\dfrac{x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{4}}.\dfrac{1}{2a}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.$
Đáp án D.