Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc $60{}^\circ .$ Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{78}}{13}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.$
D. $\dfrac{2a}{3}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{78}}{13}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.$
D. $\dfrac{2a}{3}.$
Ta có $d\left( C;\left( SBD \right) \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right).$
Gọi $O=AC\cap BC,$ kẻ $AH\bot SO$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH\Rightarrow d\left( C;\left( SBD \right) \right)=AH=d.$
Ta có $\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow \tan {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{AC}=\sqrt{3}\Rightarrow SA=a\sqrt{6}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}\Rightarrow d=a\sqrt{\dfrac{6}{13}}.$
Gọi $O=AC\cap BC,$ kẻ $AH\bot SO$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH\Rightarrow d\left( C;\left( SBD \right) \right)=AH=d.$
Ta có $\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow \tan {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{AC}=\sqrt{3}\Rightarrow SA=a\sqrt{6}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}\Rightarrow d=a\sqrt{\dfrac{6}{13}}.$
Đáp án A.