Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a.$ Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD,$ suy ra $BD\bot \left( SAO \right).$
Từ $A$ kẻ $AH\bot SO$ tại $H.$ Khi đó $AH\bot \left( SBD \right)$
$\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH.$
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A,$ có $AH$ là đường cao, $SA=a,AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Suy ra $AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}a}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}.$
A. $\dfrac{a}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD,$ suy ra $BD\bot \left( SAO \right).$
Từ $A$ kẻ $AH\bot SO$ tại $H.$ Khi đó $AH\bot \left( SBD \right)$
$\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH.$
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A,$ có $AH$ là đường cao, $SA=a,AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Suy ra $AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}a}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}.$
Đáp án C.