Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA\bot \left( ABCD \right),SA=a\sqrt{3}.$ Gọi $M$ là điểm trên đoạn $SD$ sao cho $MD=2MS.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CM$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{3a}{4}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Ta có $AB//CD$ nên $AB//\left( SCD \right),$ mà $CM\subset \left( SCD \right).$
Do đó $d\left( AB,CM \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right).$
Kẻ $AH\bot SD$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AH\bot CD.$
Khi đó $AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH.$
Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A,AH=\sqrt{\dfrac{S{{A}^{2}}.A{{D}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.{{a}^{2}}}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $d\left( AB,CM \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{3a}{4}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Ta có $AB//CD$ nên $AB//\left( SCD \right),$ mà $CM\subset \left( SCD \right).$
Do đó $d\left( AB,CM \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right).$
Kẻ $AH\bot SD$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AH\bot CD.$
Khi đó $AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH.$
Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A,AH=\sqrt{\dfrac{S{{A}^{2}}.A{{D}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.{{a}^{2}}}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $d\left( AB,CM \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án A.