Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh a, $S A = a$ ...

The Knowledge · 23/2/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh a,

S A = a

và

S A

vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi

M

và

N

lần lượt là hai điểm di chuyển trên các cạnh

B C

và

D C

sao cho

\hat{M A N} = 45^{\circ} .

Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp

S . A M N .

A.

\frac{(\sqrt{2} - 1) a^{3}}{3}

.
B.

\frac{a^{3}}{6}

.
C.

\frac{(\sqrt{3} - 1) a^{3}}{3}

.
D.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}

.

Đặt

\hat{B A M} = α

\Rightarrow \hat{N A D} = 45^{0} - α

.
Ta có:

A M = \frac{a}{cos α}

;

A N = \frac{a}{cos (45^{\circ} - α)}

.

V_{S . A M N} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A M N} = \frac{1}{6} S A . A M . A N . \sin 45^{\circ}

= \frac{1}{6} a . \frac{a}{cos α} . \frac{a}{cos (45^{\circ} - α)} . \frac{\sqrt{2}}{2}

V_{S . A M N} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6 [\cos 45^{\circ} + \cos (45^{\circ} - 2 α)]}

V_{S . A M N}

đạt giá trị nhỏ nhất khi

\cos (45^{\circ} - 2 α)

đạt giá trị lớn nhất bằng

1

\Leftrightarrow

α = 22, 5^{0}

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của

V_{S . A M N}

là

V_{S . A M N} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)} = \frac{(\sqrt{2} - 1) a^{3}}{3}

.

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a...