Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là hai điểm di chuyển trên các cạnh $BC$ và $DC$ sao cho $\widehat{MAN}=45{}^\circ .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp $S.AMN.$
A. $\dfrac{\left( \sqrt{2}-1 \right){{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{\left( \sqrt{3}-1 \right){{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
Đặt $\widehat{BAM}=\alpha $ $\Rightarrow \widehat{NAD}={{45}^{0}}-\alpha $.
Ta có: $AM=\dfrac{a}{\text{cos}\alpha }$ ; $AN=\dfrac{a}{\text{cos}\left( 45{}^\circ -\alpha \right)}$.
${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{6}SA.AM.AN.\sin 45{}^\circ $ $=\dfrac{1}{6}a.\dfrac{a}{\text{cos}\alpha }.\dfrac{a}{\text{cos}\left( 45{}^\circ -\alpha \right)}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{\text{6}\left[ \cos 45{}^\circ +\cos \left( 45{}^\circ -2\alpha \right) \right]}$
${{V}_{S.AMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\cos \left( 45{}^\circ -2\alpha \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $1$ $\Leftrightarrow $ $\alpha =22,{{5}^{0}}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của ${{V}_{S.AMN}}$ là ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{\text{6}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}+1 \right)}=\dfrac{\left( \sqrt{2}-1 \right){{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{\left( \sqrt{2}-1 \right){{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{\left( \sqrt{3}-1 \right){{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có: $AM=\dfrac{a}{\text{cos}\alpha }$ ; $AN=\dfrac{a}{\text{cos}\left( 45{}^\circ -\alpha \right)}$.
${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{6}SA.AM.AN.\sin 45{}^\circ $ $=\dfrac{1}{6}a.\dfrac{a}{\text{cos}\alpha }.\dfrac{a}{\text{cos}\left( 45{}^\circ -\alpha \right)}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{\text{6}\left[ \cos 45{}^\circ +\cos \left( 45{}^\circ -2\alpha \right) \right]}$
${{V}_{S.AMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\cos \left( 45{}^\circ -2\alpha \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $1$ $\Leftrightarrow $ $\alpha =22,{{5}^{0}}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của ${{V}_{S.AMN}}$ là ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{\text{6}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}+1 \right)}=\dfrac{\left( \sqrt{2}-1 \right){{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án A.