Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Thể tích V của khối chóp S.BDM là
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}.$
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Họi H là hình chiếu của S lên IJ. Ta có
$SI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},SJ=\dfrac{a}{2},IJ=a.$ Khi đó $S{{I}^{2}}+S{{J}^{2}}=I{{J}^{2}}$ suy ra tam giác SIJ vuông tại S. Ta có
$SH=\dfrac{SI.SJ}{\sqrt{S{{I}^{2}}+S{{J}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a\Rightarrow HI=\sqrt{S{{I}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\dfrac{3a}{4}$
và $AH=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}a,\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SI \\
& AB\bot IJ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SIJ \right)\Rightarrow AB\bot SH$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& SH\bot AB \\
& SH\bot IJ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( BDM \right) $. Gọi $ E=AH\cap BM$. Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot SA \\
& BM\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot AH $. Ta có $ \Delta ABE $ đồng dạng với $ \Delta AHI $ (vì $ \widehat{I}=\widehat{E}=90{}^\circ $ và $ \widehat{\Alpha } $ chung) nên ta có $ \dfrac{AE}{AI}=\dfrac{AB}{AH}\Rightarrow AE=\dfrac{AB.AI}{AH}=\dfrac{2a}{\sqrt{13}} $. Ta có $ \Delta ABE $ đồng dạng với $ \Delta BMC $ (vì $ \widehat{C}=\widehat{E}=90{}^\circ $ và $ \widehat{B}=\widehat{M} $) nên ta có $ \dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AE}{BC}\Rightarrow BM=\dfrac{AB.BC}{AE}=\dfrac{\sqrt{13}a}{2}$.
${{S}_{\Delta BMD}}={{S}_{\Delta BMD}}-{{S}_{\Delta BDC}}=\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{3a}{2}-\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$. Thể tích V của khối chóp S.BDM là
$V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta BM\text{D}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}a.\dfrac{1}{4}{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{48}{{a}^{3}}.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}.$
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Họi H là hình chiếu của S lên IJ. Ta có
$SI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},SJ=\dfrac{a}{2},IJ=a.$ Khi đó $S{{I}^{2}}+S{{J}^{2}}=I{{J}^{2}}$ suy ra tam giác SIJ vuông tại S. Ta có
$SH=\dfrac{SI.SJ}{\sqrt{S{{I}^{2}}+S{{J}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a\Rightarrow HI=\sqrt{S{{I}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\dfrac{3a}{4}$
và $AH=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}a,\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SI \\
& AB\bot IJ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SIJ \right)\Rightarrow AB\bot SH$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& SH\bot AB \\
& SH\bot IJ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( BDM \right) $. Gọi $ E=AH\cap BM$. Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot SA \\
& BM\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot AH $. Ta có $ \Delta ABE $ đồng dạng với $ \Delta AHI $ (vì $ \widehat{I}=\widehat{E}=90{}^\circ $ và $ \widehat{\Alpha } $ chung) nên ta có $ \dfrac{AE}{AI}=\dfrac{AB}{AH}\Rightarrow AE=\dfrac{AB.AI}{AH}=\dfrac{2a}{\sqrt{13}} $. Ta có $ \Delta ABE $ đồng dạng với $ \Delta BMC $ (vì $ \widehat{C}=\widehat{E}=90{}^\circ $ và $ \widehat{B}=\widehat{M} $) nên ta có $ \dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AE}{BC}\Rightarrow BM=\dfrac{AB.BC}{AE}=\dfrac{\sqrt{13}a}{2}$.
${{S}_{\Delta BMD}}={{S}_{\Delta BMD}}-{{S}_{\Delta BDC}}=\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{3a}{2}-\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$. Thể tích V của khối chóp S.BDM là
$V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta BM\text{D}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}a.\dfrac{1}{4}{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{48}{{a}^{3}}.$
Đáp án D.