Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB...

The Knowledge · 20/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại

S .

Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.BDM ?
A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{16}

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{32}

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{48}

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của

A B, C D \Rightarrow {\begin{aligned} S H ⊥ A B \\ S K ⊥ C D \end{aligned}

Kẻ

S I ⊥ H K (I \in H K)

mà

(S H K) ⊥ (A B C D) \Rightarrow S I ⊥ (A B C D)

Để BM vuông góc với

S A \Leftrightarrow B M

vuông góc với AI.
(Chuẩn hóa

a = 1) .

Xét

Δ S H K,

có

S H = \frac{\sqrt{3}}{2}; S K = \frac{1}{2}; H K = 1

\Rightarrow Δ S H K

vuông

\Rightarrow H I = \frac{3}{4} .

Gắn hệ tọa độ Oxy vào hình vuông ABCD, với

B (0; 0), A (0; 1), C (1; 0) .

Khi đó

H (0; \frac{1}{2}) \Rightarrow I (\frac{3}{4}; \frac{1}{2})

và

M \in C D \Rightarrow M (1; m) \Rightarrow \vec{B M} = (1; m) .

Lại có

\vec{A I} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{4} .1 - \frac{1}{2} . m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2} \Rightarrow M D = M C - C D =^{.} \frac{1}{2}

Diện tích tam giác BMD là

S_{Δ B M D} = \frac{1}{2} B C . M D = \frac{1}{4}

Vậy

V_{S . B M D} = \frac{1}{3} S I . S_{Δ B M D} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{4} . \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{48}

Đáp án D.