Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại $S.$ Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.BDM ?
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của $AB,CD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SH\bot AB \\
& SK\bot C\text{D} \\
\end{aligned} \right.$
Kẻ $SI\bot HK\left( I\in HK \right)$ mà $\left( SHK \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right)$
Để BM vuông góc với $SA\Leftrightarrow BM$ vuông góc với AI.
(Chuẩn hóa $a=1).$
Xét $\Delta SHK,$ có $SH=\dfrac{\sqrt{3}}{2};SK=\dfrac{1}{2};HK=1$
$\Rightarrow \Delta SHK$ vuông $\Rightarrow HI=\dfrac{3}{4}.$ Gắn hệ tọa độ Oxy vào hình vuông ABCD, với $B\left( 0;0 \right),A\left( 0;1 \right),C\left( 1;0 \right).$
Khi đó $H\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow I\left( \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right)$ và $M\in CD\Rightarrow M(1;m)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\left( 1;m \right).$
Lại có $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}.1-\dfrac{1}{2}.m=0\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\Rightarrow MD=MC-CD{{=}^{.}}\dfrac{1}{2}$
Diện tích tam giác BMD là ${{S}_{\Delta BMD}}=\dfrac{1}{2}BC.MD=\dfrac{1}{4}$
Vậy ${{V}_{S.BMD}}=\dfrac{1}{3}SI.{{S}_{\Delta BMD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{48}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của $AB,CD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SH\bot AB \\
& SK\bot C\text{D} \\
\end{aligned} \right.$
Kẻ $SI\bot HK\left( I\in HK \right)$ mà $\left( SHK \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right)$
Để BM vuông góc với $SA\Leftrightarrow BM$ vuông góc với AI.
(Chuẩn hóa $a=1).$
Xét $\Delta SHK,$ có $SH=\dfrac{\sqrt{3}}{2};SK=\dfrac{1}{2};HK=1$
$\Rightarrow \Delta SHK$ vuông $\Rightarrow HI=\dfrac{3}{4}.$ Gắn hệ tọa độ Oxy vào hình vuông ABCD, với $B\left( 0;0 \right),A\left( 0;1 \right),C\left( 1;0 \right).$
Khi đó $H\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow I\left( \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right)$ và $M\in CD\Rightarrow M(1;m)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\left( 1;m \right).$
Lại có $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}.1-\dfrac{1}{2}.m=0\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\Rightarrow MD=MC-CD{{=}^{.}}\dfrac{1}{2}$
Diện tích tam giác BMD là ${{S}_{\Delta BMD}}=\dfrac{1}{2}BC.MD=\dfrac{1}{4}$
Vậy ${{V}_{S.BMD}}=\dfrac{1}{3}SI.{{S}_{\Delta BMD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{48}$
Đáp án D.