Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với đáy, biết $SC=a\sqrt{3}$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SB,SD,CD,BC$. Tính thể tích khối chóp $A.MNPQ$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
Gọi $F=PQ\cap AC.$ Dễ thấy $AF\bot PQ.$
Mặt khác do $\left( MNPQ \right)//SC$ nên
$\left( SAC \right)\cap \left( MNPQ \right)=EF\text{ }\left( EF//SC;F\in SA \right).$
Dựng $AH\bot EF.$ Do $PQ\bot \left( SAC \right)$ nên $PQ\bot AH.$
Suy ra $AH\bot \left( MNPQ \right)\Rightarrow AH=d\left( A;\left( MNPQ \right) \right).$
Ta có: $AE=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4};$
$AF=\dfrac{3}{4}AS=\dfrac{3}{4}\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\dfrac{3a}{4}$
Suy ra: $AH=\sqrt{\dfrac{A{{F}^{2}}.A{{E}^{2}}}{A{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
Mặt khác do $BD\bot SC$ nên $PQ\bot QM$ suy ra tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.
${{S}_{MNPQ}}=MQ.QP=\dfrac{1}{4}BD.SC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4}$. Vậy ${{V}_{A.MNPQ}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{MNPQ}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
Gọi $F=PQ\cap AC.$ Dễ thấy $AF\bot PQ.$
Mặt khác do $\left( MNPQ \right)//SC$ nên
$\left( SAC \right)\cap \left( MNPQ \right)=EF\text{ }\left( EF//SC;F\in SA \right).$
Dựng $AH\bot EF.$ Do $PQ\bot \left( SAC \right)$ nên $PQ\bot AH.$
Suy ra $AH\bot \left( MNPQ \right)\Rightarrow AH=d\left( A;\left( MNPQ \right) \right).$
Ta có: $AE=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4};$
$AF=\dfrac{3}{4}AS=\dfrac{3}{4}\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\dfrac{3a}{4}$
Suy ra: $AH=\sqrt{\dfrac{A{{F}^{2}}.A{{E}^{2}}}{A{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
Mặt khác do $BD\bot SC$ nên $PQ\bot QM$ suy ra tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.
${{S}_{MNPQ}}=MQ.QP=\dfrac{1}{4}BD.SC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4}$. Vậy ${{V}_{A.MNPQ}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{MNPQ}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
Đáp án C.