Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $F$ là trung điểm cạnh $AB$ và $G$ là trung điểm của $SF$. Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi hai đường thẳng $CG$ và $BD$. Tính $\cos \alpha $ ?
A. $\dfrac{\sqrt{82}}{41}$.
B. $\dfrac{\sqrt{41}}{41}$.
C. ${\dfrac{2\sqrt{41}}{41}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AD$ và $H$ là trung điểm $SI$.
Dễ thấy $GH \text{//} FI$ (vì $GH$ là đường trung bình của tam giác $SFI$ )
$BD \text{// }FI$ (vì $FI$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ )
Nên $GH\text{ // }BD$ suy ra $\left( CG;BD \right)=\left( CG;GH \right)$.
Ta có $CI=\sqrt{C{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\Rightarrow CF=CI=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ ;
$SF=SI=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{F}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}$ ;
$SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Khi đó $C{{G}^{2}}=\dfrac{C{{F}^{2}}+C{{S}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{F}^{2}}}{4}=\dfrac{\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}+6{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}}{4}=\dfrac{41{{a}^{2}}}{16}\Rightarrow CH=CG=\dfrac{a\sqrt{41}}{4}$ ; $GH=\dfrac{1}{2}FI=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Ta có $\cos \widehat{CGH}=\dfrac{G{{C}^{2}}+G{{H}^{2}}-H{{C}^{2}}}{2.GC.GH}=\dfrac{{{\left( \dfrac{a\sqrt{41}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{41}}{4} \right)}^{2}}}{2.\dfrac{a\sqrt{41}}{4}.\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Cách 2. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Chọn $a=1$.
Ta tìm được $C\left( 1;1;0 \right)$, $B\left( 1;0;0 \right)$, $D\left( 0;1;0 \right)$ và $G\left( \dfrac{1}{4};0;1 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{CG}=\left( -\dfrac{3}{4};-1;1 \right)$ và $\overrightarrow{BD}=\left( -1;1;0 \right)$.
Khi đó $\cos \left( \overrightarrow{CG};\overrightarrow{BD} \right)=\dfrac{\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{BD}}{CG.BD}=\dfrac{\left( -\dfrac{3}{4} \right)\left( -1 \right)+\left( -1 \right).1+1.0}{\sqrt{{{\left( -\dfrac{3}{4} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}}=-\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Vậy $\cos \alpha =\cos \left( CG;BD \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{CG};\overrightarrow{BD} \right) \right|=\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
A. $\dfrac{\sqrt{82}}{41}$.
B. $\dfrac{\sqrt{41}}{41}$.
C. ${\dfrac{2\sqrt{41}}{41}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Cách 1.Dễ thấy $GH \text{//} FI$ (vì $GH$ là đường trung bình của tam giác $SFI$ )
$BD \text{// }FI$ (vì $FI$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ )
Nên $GH\text{ // }BD$ suy ra $\left( CG;BD \right)=\left( CG;GH \right)$.
Ta có $CI=\sqrt{C{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\Rightarrow CF=CI=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ ;
$SF=SI=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{F}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}$ ;
$SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Khi đó $C{{G}^{2}}=\dfrac{C{{F}^{2}}+C{{S}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{F}^{2}}}{4}=\dfrac{\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}+6{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}}{4}=\dfrac{41{{a}^{2}}}{16}\Rightarrow CH=CG=\dfrac{a\sqrt{41}}{4}$ ; $GH=\dfrac{1}{2}FI=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Ta có $\cos \widehat{CGH}=\dfrac{G{{C}^{2}}+G{{H}^{2}}-H{{C}^{2}}}{2.GC.GH}=\dfrac{{{\left( \dfrac{a\sqrt{41}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{41}}{4} \right)}^{2}}}{2.\dfrac{a\sqrt{41}}{4}.\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Cách 2. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Chọn $a=1$.
Suy ra $\overrightarrow{CG}=\left( -\dfrac{3}{4};-1;1 \right)$ và $\overrightarrow{BD}=\left( -1;1;0 \right)$.
Khi đó $\cos \left( \overrightarrow{CG};\overrightarrow{BD} \right)=\dfrac{\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{BD}}{CG.BD}=\dfrac{\left( -\dfrac{3}{4} \right)\left( -1 \right)+\left( -1 \right).1+1.0}{\sqrt{{{\left( -\dfrac{3}{4} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}}=-\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Vậy $\cos \alpha =\cos \left( CG;BD \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{CG};\overrightarrow{BD} \right) \right|=\dfrac{\sqrt{82}}{82}$.
Đáp án D.