Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh...

Cách 1.
Gọi $I$ là trung điểm $AD$ và $H$ là trung điểm $SI$.
Dễ thấy $GH\text{//}FI$ (vì $GH$ là đường trung bình của tam giác $SFI$ )
$BD\text{// }FI$ (vì $FI$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ )
Nên $GH\text{ // }BD$ suy ra $(CG;BD)=(CG;GH)$.
Ta có $CI=\sqrt{C{D}^2+D{I}^2}=\sqrt{a^2+{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}\Rightarrow CF=CI={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}$ ;
$SF=SI=\sqrt{S{A}^2+A{F}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{17}}{2}}$ ;
$SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=a\sqrt{6}$.
Khi đó $C{G}^2={\displaystyle \frac{C{F}^2+C{S}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{S{F}^2}{4}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5a^2}{4}}+6a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{9a^2}{4}}}{4}}={\displaystyle \frac{41a^2}{16}}\Rightarrow CH=CG={\displaystyle \frac{a\sqrt{41}}{4}}$ ; $GH={\displaystyle \frac{1}{2}}FI={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}BD={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}$.
Ta có $\cos \widehat{CGH}={\displaystyle \frac{G{C}^2+G{H}^2-H{C}^2}{2.GC.GH}}={\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{41}}{4}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{41}}{4}}\right)}^2}{2.{\displaystyle \frac{a\sqrt{41}}{4}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{82}}{82}}$.
Vậy $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{82}}{82}}$.
Cách 2. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Chọn $a=1$.
Ta tìm được $C(1;1;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ và $G({\displaystyle \frac{1}{4}};0;1)$.
Suy ra $\overrightarrow{CG}=(-{\displaystyle \frac{3}{4}};-1;1)$ và $\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)$.
Khi đó $\cos (\overrightarrow{CG};\overrightarrow{BD})={\displaystyle \frac{\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{BD}}{CG.BD}}={\displaystyle \frac{(-{\displaystyle \frac{3}{4}})(-1)+(-1).1+1.0}{\sqrt{{(-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2+{(-1)}^2+1^2}.\sqrt{{(-1)}^2+1^2+0^2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{82}}{82}}$.
Vậy $\cos \alpha =\cos (CG;BD)=|\cos (\overrightarrow{CG};\overrightarrow{BD})|={\displaystyle \frac{\sqrt{82}}{82}}$.