Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng $45{}^\circ $. Gọi E là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.
A. $\dfrac{a\sqrt{38}}{19}$
B. $\dfrac{a\sqrt{38}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{19}$
A. $\dfrac{a\sqrt{38}}{19}$
B. $\dfrac{a\sqrt{38}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{19}$
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)$ suy ra AC là hình chiếu của SC lên (ABCD), suy ra $\widehat{SCA}=45{}^\circ $.
Tam giác SCA vuông cân tại A, suy ra $SA=AC=a\sqrt{2}$.
Dựng $CI//DE$, suy ra $DE//\left( SCI \right)$.
Dựng AK vuông góc với CI cắt DE tại H và cắt CI tại K.
Trong (SAK) dựng $HF\bot SK$, do $CI\bot \left( SAK \right)\Rightarrow HF\bot \left( SCI \right)$
Ta có $AK=\dfrac{CD.AI}{CI}=\dfrac{3a}{\sqrt{5}};HK=\dfrac{1}{3}AK={{\dfrac{a}{\sqrt{5}}}_{{}}}SK=\sqrt{A{{K}^{2}}+S{{A}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{95}}{5}$
$\Rightarrow d(DE,SC)=d\left( H,\left( SCI \right) \right)=HF=\dfrac{SA.HK}{SK}=\dfrac{a\sqrt{38}}{19}$
Tam giác SCA vuông cân tại A, suy ra $SA=AC=a\sqrt{2}$.
Dựng $CI//DE$, suy ra $DE//\left( SCI \right)$.
Dựng AK vuông góc với CI cắt DE tại H và cắt CI tại K.
Ta có $AK=\dfrac{CD.AI}{CI}=\dfrac{3a}{\sqrt{5}};HK=\dfrac{1}{3}AK={{\dfrac{a}{\sqrt{5}}}_{{}}}SK=\sqrt{A{{K}^{2}}+S{{A}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{95}}{5}$
$\Rightarrow d(DE,SC)=d\left( H,\left( SCI \right) \right)=HF=\dfrac{SA.HK}{SK}=\dfrac{a\sqrt{38}}{19}$
Đáp án A.