Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên $SA=2\text{a}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(AMC)$ và $(SBC)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho $a=1$ sao cho $A(0;0;0),B(0;1;0),D(1;0;0),S(0;0;2)$.
Ta có M là trung điểm SD $\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{2};0;1 \right),C(1;1;0)$.
$\overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{1}{2};0;1 \right),\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -1;1;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow (AMC)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(-2;2;1)$, $\overrightarrow{SB}=(0;1;-2),\overrightarrow{SC}=(1;1;-2),\left[ \overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC} \right]=(0;2;1)$ $\Rightarrow (SBC)$ có một vtpt $\overrightarrow{k}=(0;2;1)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $(AMC)$ và $(SBC)$ thì $\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Do $\tan \alpha >0$ nên $\tan \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho $a=1$ sao cho $A(0;0;0),B(0;1;0),D(1;0;0),S(0;0;2)$.
Ta có M là trung điểm SD $\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{2};0;1 \right),C(1;1;0)$.
$\overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{1}{2};0;1 \right),\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -1;1;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow (AMC)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(-2;2;1)$, $\overrightarrow{SB}=(0;1;-2),\overrightarrow{SC}=(1;1;-2),\left[ \overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC} \right]=(0;2;1)$ $\Rightarrow (SBC)$ có một vtpt $\overrightarrow{k}=(0;2;1)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $(AMC)$ và $(SBC)$ thì $\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Do $\tan \alpha >0$ nên $\tan \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án C.