Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = b và vuông góc với (ABCD). Điểm M thay đổi trên cạnh CD, H là hình chiếu vuông góc của S trên BM. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABH theo a,b.
A. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{12}$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{24}$
C. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{18}$
Cách 1: Do $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot SH \\
& BH\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BH\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BH\bot AH$, nên H thuộc đường tròn đường kính AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AB. Dễ dàng suy ra được:
Thể tích: ${{V}_{S.ABH}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{1}{3}b.{{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{ab.HK}{6}$
Do đó để thể tích lớn nhất thì HK lớn nhất. HK lớn nhất khi H là điểm chính giữa cung AB, tức là H trùng với tâm hình vuông ABCD hay M trùng với D.
Khi đó $HK=\dfrac{a}{2}$. Vậy ${{V}_{max}}=\dfrac{{{a}^{2}}b}{12}.$
Cách 2: Do $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot SH \\
& BH\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BH\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BH\bot AH$
${{V}_{S.ABH}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{b}{6}HA.HB\le \dfrac{b}{6}.\dfrac{H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}}{2}=\dfrac{b.A{{B}^{2}}}{12}=\dfrac{{{a}^{2}}b}{12}$
Vậy ${{V}_{\text{max}}}=\dfrac{{{a}^{2}}b}{12}$ khi HA = HB $\Leftrightarrow $ H trùng với tâm đáy, hay $M\equiv D$
A. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{12}$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{24}$
C. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{18}$
Cách 1: Do $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot SH \\
& BH\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BH\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BH\bot AH$, nên H thuộc đường tròn đường kính AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AB. Dễ dàng suy ra được:
Thể tích: ${{V}_{S.ABH}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{1}{3}b.{{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{ab.HK}{6}$
Do đó để thể tích lớn nhất thì HK lớn nhất. HK lớn nhất khi H là điểm chính giữa cung AB, tức là H trùng với tâm hình vuông ABCD hay M trùng với D.
Khi đó $HK=\dfrac{a}{2}$. Vậy ${{V}_{max}}=\dfrac{{{a}^{2}}b}{12}.$
Cách 2: Do $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot SH \\
& BH\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BH\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BH\bot AH$
${{V}_{S.ABH}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{b}{6}HA.HB\le \dfrac{b}{6}.\dfrac{H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}}{2}=\dfrac{b.A{{B}^{2}}}{12}=\dfrac{{{a}^{2}}b}{12}$
Vậy ${{V}_{\text{max}}}=\dfrac{{{a}^{2}}b}{12}$ khi HA = HB $\Leftrightarrow $ H trùng với tâm đáy, hay $M\equiv D$
Đáp án A.