Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = 2a. tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AC và SB
A. $h=\dfrac{3a}{2}$
B. $h=\dfrac{2a}{3}$
C. $h=\dfrac{a}{3}$
D. $h=\dfrac{a}{2}$
Dựng hình bình hành $ACBE\Rightarrow AC\text{//}BE$
$\Rightarrow h=d\left( AC,SB \right)=d\left( AC,\left( SBE \right) \right)=d\left( A,\left( SBE \right) \right)=AH$
(Với I là hình chiếu vuông góc của A trên EB và H là hình chiếu vuông góc của A trên SI như hình vẽ).
Ta có ABE là tam giác vuông cân tại $A\Rightarrow AI=\dfrac{EB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Khi đó: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow h=AH=\dfrac{2a}{3}$
A. $h=\dfrac{3a}{2}$
B. $h=\dfrac{2a}{3}$
C. $h=\dfrac{a}{3}$
D. $h=\dfrac{a}{2}$
Dựng hình bình hành $ACBE\Rightarrow AC\text{//}BE$
$\Rightarrow h=d\left( AC,SB \right)=d\left( AC,\left( SBE \right) \right)=d\left( A,\left( SBE \right) \right)=AH$
(Với I là hình chiếu vuông góc của A trên EB và H là hình chiếu vuông góc của A trên SI như hình vẽ).
Ta có ABE là tam giác vuông cân tại $A\Rightarrow AI=\dfrac{EB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Khi đó: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow h=AH=\dfrac{2a}{3}$
Đáp án B.