Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a=2cm$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $SAB$ đến mặt phẳng $\left( SAC \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}cm$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}cm$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}cm$.
D. $\sqrt{3}cm$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $I$ trên $AC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IH\bot AC \\
& IH\bot SA \left( SA\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IH\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( I; \left( SAC \right) \right)=IH$.
Xét tam giác vuông $AIH$ có $IH=IA.\sin 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Ta có $\dfrac{d\left( G; \left( SAC \right) \right)}{d\left( I; \left( SAC \right) \right)}=\dfrac{SG}{SI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow d\left( G; \left( SAC \right) \right)=\dfrac{2}{3}IH=\dfrac{\sqrt{2}}{3} \left( \text{cm} \right)$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}cm$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}cm$.
D. $\sqrt{3}cm$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IH\bot AC \\
& IH\bot SA \left( SA\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IH\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( I; \left( SAC \right) \right)=IH$.
Xét tam giác vuông $AIH$ có $IH=IA.\sin 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Ta có $\dfrac{d\left( G; \left( SAC \right) \right)}{d\left( I; \left( SAC \right) \right)}=\dfrac{SG}{SI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow d\left( G; \left( SAC \right) \right)=\dfrac{2}{3}IH=\dfrac{\sqrt{2}}{3} \left( \text{cm} \right)$.
Đáp án A.