Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ và...

Phương pháp:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d$ và $d'$ là khoảng cách từ $1$ điểm trên d tới mặt phẳng
$\left( \alpha \right)$ đi qua $d'$ và song song với $d$.
- Dựa vào khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ để tính độ dài $SA$ và thể tích khối chóp.
Cách giải:

Qua $B$, kẻ $BE\|AC(E\in DC)$.Ta có: $AC\|(SBE)\supset SB$
Suy ra $d\left( AC;SB \right)=d\left( AB;\left( SBE \right) \right)=d\left( A;\left( SBE \right) \right)$.
Qua $,A$ kẻ $AH\bot BE(H\in BE);AK\bot SH(K\in SH)$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& \left. \begin{array}{*{35}{l}}
SA\bot (ABCD)\Rightarrow SA\bot BE \\
AH\bot BE \\
\end{array} \right\}\Rightarrow BE\bot (SAH)\Rightarrow BE\bot AK \\
& AK\bot AH\Rightarrow AK\bot (SBE) \\
& \begin{array}{*{35}{l}}
\Rightarrow d(AC;SB)=d(A;(SBE))=AK \\
\Rightarrow AK=a. \\
\end{array} \\
\end{aligned}$

Vì $BE\|AC\Rightarrow \angle CBE=\angle ACB={{45}^{0}}$ (so le trong).
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \angle ABH={{180}^{0}}-\angle ABC-\angle CBE \\
& ={{180}^{0}}-{{90}^{0}}-{{45}^{0}}={{45}^{0}} \\
\end{aligned}$
Do đó, tam giác $AHB$ vuông cân tại $H$. Suy ra $AH=HB=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}a$
Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ nên:
$\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}$ (Hệ thức lượng)
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(\sqrt{2}a)}^{2}}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{2}a.{{(2a)}^{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$