Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$. Tam giác $SAB$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$, với $\alpha <{{45}^{0}}$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABCD$.
A. $4{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
A. $4{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
Gọi $D'$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $SADD'$.
Khi đó $DD'//SA$ mà $SA\bot \left( SBC \right)$ nên $DD'\bot \left( SBC \right)$.
Ta có $\widehat{\left( SD,\left( SBC \right) \right)}=\alpha =\widehat{DSD'}=\widehat{SDA}$, do đó $SA=AD.\tan \alpha =2a\tan \alpha $.
Đặt $\tan \alpha =x,\ x\in \left( 0;1 \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $AB$, ta có ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}.SH$.
Do đó ${{V}_{S.ABCD}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $SH$ lớn nhất.
Vì $\Delta SAB$ vuông tại $S$ nên $SH=\dfrac{SA.AB}{AB}=\dfrac{SA\sqrt{A{{B}^{2}}-S{{A}^{2}}}}{AB}=\dfrac{2ax\sqrt{4{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}{{x}^{2}}}}{2a}=2ax\sqrt{1-{{x}^{2}}}\le 2a.\dfrac{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}{2}=a$.
Từ đó $\max SH=a$ khi $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy $\max {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}a.4{{a}^{2}}=\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}$.
Khi đó $DD'//SA$ mà $SA\bot \left( SBC \right)$ nên $DD'\bot \left( SBC \right)$.
Ta có $\widehat{\left( SD,\left( SBC \right) \right)}=\alpha =\widehat{DSD'}=\widehat{SDA}$, do đó $SA=AD.\tan \alpha =2a\tan \alpha $.
Đặt $\tan \alpha =x,\ x\in \left( 0;1 \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $AB$, ta có ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}.SH$.
Do đó ${{V}_{S.ABCD}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $SH$ lớn nhất.
Vì $\Delta SAB$ vuông tại $S$ nên $SH=\dfrac{SA.AB}{AB}=\dfrac{SA\sqrt{A{{B}^{2}}-S{{A}^{2}}}}{AB}=\dfrac{2ax\sqrt{4{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}{{x}^{2}}}}{2a}=2ax\sqrt{1-{{x}^{2}}}\le 2a.\dfrac{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}{2}=a$.
Từ đó $\max SH=a$ khi $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy $\max {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}a.4{{a}^{2}}=\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.