Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ với mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh $AB$ và $\left( SCD \right)$ tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}$. Mặt phẳng chứa $AB$ và vuông góc với $\left( SCD \right)$ cắt $SC,SD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Thể tích của khối chóp $S.ABMN$ bằng
A. $\dfrac{21{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{21\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$. Gọi $P$ là trung điểm của $CD$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot HP \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SHP \right)$. Do vậy :
$\left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SPH}={{60}^{0}}\Rightarrow SH=HP.\tan {{60}^{0}}=2a\sqrt{3};SP=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=4a$.
Kẻ $HK\bot SP\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow \left( ABK \right)\bot \left( SCD \right)\Rightarrow $ $\left( ABCD \right)\equiv \left( ABK \right)$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& AB//CD \\
& AB\subset \left( ABMN \right) \\
& CD\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( ABMN \right)\cap \left( SCD \right)=MN//CD//AB $ nên $ MN $ là đường thẳng đi qua $ K $ và song song với $ CD$.
Ta có : ${{V}_{S.ABMN}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABMN}}.SK=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}\left( AB+MN \right).HK \right).SK=\dfrac{1}{6}\left( 2a+\dfrac{3a}{2} \right)\sqrt{3}a.3a=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.$
A. $\dfrac{21{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{21\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$. Gọi $P$ là trung điểm của $CD$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot HP \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SHP \right)$. Do vậy :
$\left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SPH}={{60}^{0}}\Rightarrow SH=HP.\tan {{60}^{0}}=2a\sqrt{3};SP=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=4a$.
Kẻ $HK\bot SP\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow \left( ABK \right)\bot \left( SCD \right)\Rightarrow $ $\left( ABCD \right)\equiv \left( ABK \right)$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& AB//CD \\
& AB\subset \left( ABMN \right) \\
& CD\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( ABMN \right)\cap \left( SCD \right)=MN//CD//AB $ nên $ MN $ là đường thẳng đi qua $ K $ và song song với $ CD$.
Ta có : ${{V}_{S.ABMN}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABMN}}.SK=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}\left( AB+MN \right).HK \right).SK=\dfrac{1}{6}\left( 2a+\dfrac{3a}{2} \right)\sqrt{3}a.3a=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.$
Đáp án D.