Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $2 a$ . Hình...

The Professor · 28/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh

2 a

. Hình chiếu vuông góc của

S

với mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh

A B

và

(S C D)

tạo với đáy một góc

60^{0}

. Mặt phẳng chứa

A B

và vuông góc với

(S C D)

cắt

S C, S D

lần lượt tại

M

và

N

. Thể tích của khối chóp

S . A B M N

bằng
A.

\frac{21 a^{3}}{4}

.
B.

\frac{7 \sqrt{3} a^{3}}{2}

.
C.

\frac{21 \sqrt{3} a^{3}}{4}

.
D.

\frac{7 \sqrt{3} a^{3}}{4}

.

Gọi

H

là trung điểm của cạnh

A B \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)

. Gọi

P

là trung điểm của

C D

.
Suy ra

{\begin{aligned} C D ⊥ H P \\ C D ⊥ S H \end{aligned} \Rightarrow C D ⊥ (S H P)

. Do vậy :

((S C D), (A B C D)) = \hat{S P H} = 60^{0} \Rightarrow S H = H P . \tan 60^{0} = 2 a \sqrt{3}; S P = \sqrt{S H^{2} + H P^{2}} = 4 a

.
Kẻ

H K ⊥ S P \Rightarrow H K ⊥ (S C D) \Rightarrow (A B K) ⊥ (S C D) \Rightarrow

(A B C D) \equiv (A B K)

.
Mặt khác

{\begin{aligned} A B / / C D \\ A B \subset (A B M N) \\ C D \subset (S C D) \end{aligned} \Rightarrow (A B M N) \cap (S C D) = M N / / C D / / A B

nên

M N

là đường thẳng đi qua

K

và song song với

C D

.
Ta có :

V_{S . A B M N} = \frac{1}{3} V_{A B M N} . S K = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} (A B + M N) . H K) . S K = \frac{1}{6} (2 a + \frac{3 a}{2}) \sqrt{3} a .3 a = \frac{7 \sqrt{3} a^{3}}{4} .

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình...