Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên $SA=a\sqrt{5}$ mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng
A. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{4\text{a}\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
D. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{15}}{5}$
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Do tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên $SH\bot ABC\text{D}$. Theo giả thiết ta có $AB=2\text{a}$.
$\Rightarrow AH=a$. Mà ta lại có $SA=a\sqrt{5}$ nên
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=2\text{a}$.
$A\text{D // BC}\Rightarrow AD\ \text{// }(SBC)$
$\Rightarrow d\left( A\text{D},SC \right)=d\left( A\text{D},(SBC) \right)=d\left( A,(SBC) \right)=2\text{d}\left( H,(SBC) \right)$.
Do mặt phẳng $(SBC)\bot (SAB)$ nên từ H kẻ $HK\bot SB$ thì $HK=d\left( H,(SBC) \right)$.
Ta có $HK=\dfrac{SH.HB}{SB}=\dfrac{2\text{a}.a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Vậy $d\left( A\text{D},SC \right)=2HK=\dfrac{4\text{a}\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{4\text{a}\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
D. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{15}}{5}$
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Do tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên $SH\bot ABC\text{D}$. Theo giả thiết ta có $AB=2\text{a}$.
$\Rightarrow AH=a$. Mà ta lại có $SA=a\sqrt{5}$ nên
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=2\text{a}$.
$A\text{D // BC}\Rightarrow AD\ \text{// }(SBC)$
$\Rightarrow d\left( A\text{D},SC \right)=d\left( A\text{D},(SBC) \right)=d\left( A,(SBC) \right)=2\text{d}\left( H,(SBC) \right)$.
Do mặt phẳng $(SBC)\bot (SAB)$ nên từ H kẻ $HK\bot SB$ thì $HK=d\left( H,(SBC) \right)$.
Ta có $HK=\dfrac{SH.HB}{SB}=\dfrac{2\text{a}.a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Vậy $d\left( A\text{D},SC \right)=2HK=\dfrac{4\text{a}\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án B.