Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên $SA=\sqrt{5}a$, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng
A. $\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}$
B. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
C. $\dfrac{2\sqrt{15}a}{5}$
D. $\dfrac{\sqrt{15}a}{5}$
Gọi H là trung điểm AB $SH\bot AB$ mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$
Kẻ $HK\bot SB \left( K\in SB \right)\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)$
Suy ra $d\left[ H; \left( SBC \right) \right]=HK$
Tam giác SBH vuông tại H, có
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Vậy $d\left[ AD; SC \right]=d\left[ A; \left( SBC \right) \right]$
$=2\times d\left[ H; \left( SBC \right) \right]=2\times HK=\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}$
A. $\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}$
B. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
C. $\dfrac{2\sqrt{15}a}{5}$
D. $\dfrac{\sqrt{15}a}{5}$
Gọi H là trung điểm AB $SH\bot AB$ mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$
Kẻ $HK\bot SB \left( K\in SB \right)\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)$
Suy ra $d\left[ H; \left( SBC \right) \right]=HK$
Tam giác SBH vuông tại H, có
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Vậy $d\left[ AD; SC \right]=d\left[ A; \left( SBC \right) \right]$
$=2\times d\left[ H; \left( SBC \right) \right]=2\times HK=\dfrac{4\sqrt{5}a}{5}$
Đáp án A.