Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông. Biết $S B = 2 A B$ ...

The Knowledge · 14/3/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông. Biết

S B = 2 A B

và

\hat{S B A} = 120^{0}

. Gọi

E

là chân đường phân giác trong của góc

\hat{S B A}

, biết

B E = a

. Góc giữa cạnh bên

S A

với mặt phẳng đáy bằng

45^{0}

. Thể tích khối chóp

S . A B C D

bằng
A.

\frac{7 \sqrt{14} a^{3}}{16}

.
B.

\frac{9 \sqrt{14} a^{3}}{16}

.
C.

\frac{5 \sqrt{14} a^{3}}{16}

.
D.

\frac{\sqrt{14} a^{3}}{16}

.

Đặt

A B = x \Rightarrow S B = 2 x

.Ta có

AS = \sqrt{B A^{2} + B S^{2} - 2 B A . B S . c o s 120^{0}} = \sqrt{7 x^{2}} = x \sqrt{7}

Ta có

\frac{S E}{E A} = \frac{S B}{B A} = 2 \Rightarrow A E = \frac{S A}{3} = \frac{x \sqrt{7}}{3}

.
Trong tam giác

E A B

có

E A^{2} = B E^{2} + A B^{2} - 2 B E . A B . c o s 60^{0}

\Leftrightarrow \frac{7 x^{2}}{9} = a^{2} + x^{2} - 2 a . x . \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{9} x^{2} - a x + a^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = \frac{3 a}{2} \\ x = 3 a (l) \end{aligned}

.
(

x = 3 a

loại vì thử lại trong tam giác

S B E

có

cos \hat{S B E} = \frac{B S^{2} + B E^{2} - S E^{2}}{2. B S . B E}

= \frac{36 a^{2} + a^{2} - 28 a^{2}}{2.6 a . a} = \frac{3}{4}

\Rightarrow \hat{S B E} \neq 60^{0}

)
Suy ra

A B = \frac{3 a}{2} \Rightarrow S_{A B C D} = \frac{9 a^{2}}{4}

.
Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

S

lên

(A B C D)

, ta có

\hat{S A H} = 45^{0}

\Rightarrow S H = \frac{S A}{\sqrt{2}} = \frac{3 a \sqrt{14}}{4}

.
Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{3 a \sqrt{14}}{4} . \frac{9 a^{2}}{4} = \frac{9 a^{3} \sqrt{14}}{16}

.

Đáp án B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SB=2AB...