Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông $BD=2a$, $\Delta SAC$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $SC=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $\left( SAD \right)$ là
A. $\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$
C. $2a$
D. $a\sqrt{3}$
$\Delta SAC$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên kẻ $SH\bot AC$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
$BD=AC=2a,CD=\dfrac{BD}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}, SA=\sqrt{A{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}=a$
$SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$AH=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}$
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có $d\left( B, \left( SAD \right) \right)=2d\left( O, \left( SAD \right) \right)=4d\left( H, \left( SAD \right) \right)$
Kẻ $HJ//CD\left( J\in AD \right), HJ=\dfrac{1}{4}CD=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$. Kẻ $HK\bot SI$ tại K $\Rightarrow HK\bot \left( SAD \right)$
$\Rightarrow d\left( B, \left( SAD \right) \right)=4HK=4.\dfrac{SH.HI}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{I}^{2}}}}=4.\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{2{{a}^{2}}}{16}}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$
C. $2a$
D. $a\sqrt{3}$
$\Delta SAC$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên kẻ $SH\bot AC$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
$BD=AC=2a,CD=\dfrac{BD}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}, SA=\sqrt{A{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}=a$
$SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$AH=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}$
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có $d\left( B, \left( SAD \right) \right)=2d\left( O, \left( SAD \right) \right)=4d\left( H, \left( SAD \right) \right)$
Kẻ $HJ//CD\left( J\in AD \right), HJ=\dfrac{1}{4}CD=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$. Kẻ $HK\bot SI$ tại K $\Rightarrow HK\bot \left( SAD \right)$
$\Rightarrow d\left( B, \left( SAD \right) \right)=4HK=4.\dfrac{SH.HI}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{I}^{2}}}}=4.\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{2{{a}^{2}}}{16}}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án B.