Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $A B = 1$ , cạnh bên...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

A B = 1

, cạnh bên

S A = 1

và vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

. Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho

\hat{M A N} = 45^{\circ}

. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.AMN là?
A.

\frac{\sqrt{2} + 1}{9}

.
B.

\frac{\sqrt{2} - 1}{3}

.
C.

\frac{\sqrt{2} + 1}{6}

.
D.

\frac{\sqrt{2} - 1}{9}

.

Đặt

D M = x, B N = y

ta có

\tan 45^{\circ} = \tan (\hat{D A M} + \hat{B A N}) = \frac{\tan \hat{D A M} + \tan \hat{B A N}}{1 - \tan \hat{D A M} . \tan \hat{B A N}} = \frac{x + y}{1 - x y}

.
Suy ra

y = \frac{1 - x}{1 + x}

và

A M = \sqrt{A D^{2} + D M^{2}} = \sqrt{x^{2} + 1}

,

A N = \sqrt{A B^{2} + B N^{2}} = \sqrt{1 + y^{2}} = \sqrt{{(\frac{1 - x}{1 + x})}^{2} + 1} = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 1)}}{x + 1}

.
Vì vậy

V = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A M N} = \frac{1}{6} S A . A M . A N . \sin 45^{\circ} = \frac{x^{2} + 1}{6 (x + 1)}

.
Xét hàm số

y = f (x) = \frac{x^{2} + 1}{6 (x + 1)}

.
Khảo sát ta có

f (x) \leq f (\sqrt{2} - 1) = \frac{\sqrt{2} - 1}{3}

.

Đáp án B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB=1, cạnh bên...