Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $AB=1$, cạnh bên $SA=1$ và vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho $\widehat{MAN}=45{}^\circ $. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.AMN là?
A. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{9}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{9}$.
Đặt $DM=x,BN=y$ ta có
$\tan 45{}^\circ =\tan \left( \widehat{DAM}+\widehat{BAN} \right)=\dfrac{\tan \widehat{DAM}+\tan \widehat{BAN}}{1-\tan \widehat{DAM}.\tan \widehat{BAN}}=\dfrac{x+y}{1-xy}$.
Suy ra $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ và $AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$,
$AN=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}}=\sqrt{1+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)}^{2}}+1}=\dfrac{\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}{x+1}$.
Vì vậy $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{6}SA.AM.AN.\sin 45{}^\circ =\dfrac{{{x}^{2}}+1}{6\left( x+1 \right)}$.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{6\left( x+1 \right)}$.
Khảo sát ta có $f\left( x \right)\le f\left( \sqrt{2}-1 \right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{9}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{9}$.
Đặt $DM=x,BN=y$ ta có
$\tan 45{}^\circ =\tan \left( \widehat{DAM}+\widehat{BAN} \right)=\dfrac{\tan \widehat{DAM}+\tan \widehat{BAN}}{1-\tan \widehat{DAM}.\tan \widehat{BAN}}=\dfrac{x+y}{1-xy}$.
Suy ra $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ và $AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$,
$AN=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}}=\sqrt{1+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)}^{2}}+1}=\dfrac{\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}{x+1}$.
Vì vậy $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{6}SA.AM.AN.\sin 45{}^\circ =\dfrac{{{x}^{2}}+1}{6\left( x+1 \right)}$.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{6\left( x+1 \right)}$.
Khảo sát ta có $f\left( x \right)\le f\left( \sqrt{2}-1 \right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
Đáp án B.