Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, $AC=2\sqrt{3}a$, $BD=2a$ ; hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Ta có diện tích hình thoi ABCD là ${{S}_{ABCD}}=2\sqrt{3}{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Theo giả thiết $SO\bot \left( SBCD \right)$.
Kẻ $OK\bot AB$, $OH\bot SK$
$\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot OH\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$.
Ta có: $d\left( C,\left( SAB \right) \right)=2d\left( O,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Khi đó: $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SO=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}{{a}^{2}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Ta có diện tích hình thoi ABCD là ${{S}_{ABCD}}=2\sqrt{3}{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Theo giả thiết $SO\bot \left( SBCD \right)$.
Kẻ $OK\bot AB$, $OH\bot SK$
$\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot OH\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$.
Ta có: $d\left( C,\left( SAB \right) \right)=2d\left( O,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Khi đó: $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SO=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}{{a}^{2}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Đáp án C.