Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,

A C = 2 \sqrt{3} a

,

B D = 2 a

; hai mặt phẳng

(S A C)

và

(S B D)

cùng vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(S A B)

bằng

\frac{a \sqrt{3}}{2}

. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.
B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

.
C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

.
D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.

Ta có diện tích hình thoi ABCD là

S_{A B C D} = 2 \sqrt{3} a^{2} \Rightarrow S_{A B C} = \sqrt{3} a^{2}

.
Theo giả thiết

S O ⊥ (S B C D)

.
Kẻ

O K ⊥ A B

,

O H ⊥ S K

\Rightarrow A B ⊥ (S O H) \Rightarrow A B ⊥ O H \Rightarrow O H ⊥ (S A B)

.
Ta có:

d (C, (S A B)) = 2 d (O, (S A B)) = \frac{a \sqrt{3}}{2}

\Rightarrow d (O, (S A B)) = O H = \frac{a \sqrt{3}}{4}

.
Khi đó:

\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow \frac{1}{O S^{2}} = \frac{1}{O H^{2}} - \frac{1}{O K^{2}} = \frac{4}{a^{2}}

.
Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . S O = \frac{1}{3} . \sqrt{3} a^{2} . \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

.

Đáp án C.