Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, đường...

Gọi $M$ trung điểm $SA$. Ta có $\mathrm{\Delta }SAB$ cân tại $B\Rightarrow BM\mathrm{\perp }SA\text{ (1)}$
Vì $SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\mathrm{\perp }BD$, lại có $O$ trung điểm $BD$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }SBD$ cân tại $S$
nên $SD=SB=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }SAD$ cân tại $D$ nên $DM\mathrm{\perp }SA\text{ (2)}$
Lại có $\left(SAB\right)\cap \left(SAD\right)=SA\text{ (3)}$
Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow \widehat{(\left(SAB\right),\left(SAD\right))}=\widehat{BMD}$ hoặc $\widehat{(\left(SAB\right),\left(SAD\right))}=180{}^{\circ }-\widehat{BMD}$.
Xét $\mathrm{\Delta }SOB$ vuông tại $O$ $\Rightarrow OB=\sqrt{S{B}^2-S{O}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2-a^2}=a\Rightarrow BD=2\text{a}$.
Xét $\mathrm{\Delta }AOB$ vuông tại $O$ có $OA=\sqrt{A{B}^2-O{B}^2}=A\Rightarrow OA=OC=a$.
Xét $\mathrm{\Delta }SOC\Rightarrow SC=a\sqrt{2}\Rightarrow OM={\displaystyle \frac{1}{2}}SC={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.$
Vì $\{\begin{array}{rl}& BD\mathrm{\perp }AC\\ & BD\mathrm{\perp }SO\end{array}\Rightarrow BD\mathrm{\perp }\left(SAC\right)$ nên $BD\mathrm{\perp }MO$. Mặt khác $OD=OB$ nên $\mathrm{\Delta }BDM$cân tại $M$.
Xét $\mathrm{\Delta }BOM$ vuông tại $O$ $\Rightarrow BM=\sqrt{O{M}^2+O{B}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}\Rightarrow DM=BM={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}.$
Xét $\mathrm{\Delta }BDM\Rightarrow \cos \left(BMD\right)={\displaystyle \frac{B{M}^2+D{M}^2-B{D}^2}{2BM.DM}}={\displaystyle \frac{-1}{3}}\Rightarrow \cos (\left(SAB\right);\left(SAD\right))={\displaystyle \frac{1}{3}}.$
Vậy $\text{tan}(\left(SAB\right);\left(SAD\right))=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2}}-1}=2\sqrt{2}$.
Cách 2 của phản biện

Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho tâm của hình thoi trùng với gốc tọa độ, và các điểm lần lượt có tọa độ như sau: $S(0,0,a)\in Oz$, $D(a,0,0)\in Ox$, $C(0,a,0)\in Oy$.
Khi đó dễ dàng suy ra các đỉnh còn lại là $B(-a,0,0)$, $A(0,-a,0)$.
Mặt phẳng $\left(SAD\right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SA}=(0,-a-a)$ và $\overrightarrow{SD}=(a;0;-a)$ do đó có VTPT $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SD}]=(a^2,-a^2,a^2)$.
Mặt phẳng $\left(SAB\right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SA}=(0,-a-a)$ và $\overrightarrow{SB}=(-a;0;-a)$ do đó có VTPT $\overrightarrow{n^{\prime }}=[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SD}]=(-a^2,-a^2,a^2)$.
Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(SAB\right)$, khi đó $\cos \phi ={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\prime }}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{n^{\prime }}\right|}}={\displaystyle \frac{|-a^4+a^4+a^4|}{\sqrt{3a^4}\sqrt{3a^4}}}={\displaystyle \frac{1}{3a^2}}$.
Vậy $\text{tan}\phi =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\phi }}-1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2}}-1}=2\sqrt{2}$.