Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60{}^\circ $, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{14}$
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{6}$
Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $CD$, $F$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $SE$.
Ta có $CD\bot SA,CD\bot AE\Rightarrow CD\bot \left( SAE \right)$ $\Rightarrow CD\bot AF$ $\Rightarrow AF\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow AF=d\left( A,\left( SCD \right) \right)$.
Vì $\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên $\widehat{ADC}=120{}^\circ $ $\Rightarrow \widehat{ADE}=60{}^\circ $ $\Rightarrow AE=AD\sin \widehat{ADE}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AF=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $d\left( O,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{14}$
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{6}$
Ta có $CD\bot SA,CD\bot AE\Rightarrow CD\bot \left( SAE \right)$ $\Rightarrow CD\bot AF$ $\Rightarrow AF\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow AF=d\left( A,\left( SCD \right) \right)$.
Vì $\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên $\widehat{ADC}=120{}^\circ $ $\Rightarrow \widehat{ADE}=60{}^\circ $ $\Rightarrow AE=AD\sin \widehat{ADE}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AF=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $d\left( O,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Đáp án A.