Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O,AB=a,$ $\widehat{BAD}={{60}^{\circ }},SO\bot \left( ABCD \right)$ và mặt phẳng $\left( SCD \right)$ tạo với đáy một góc ${{60}^{\circ }}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$
A. ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$
B. ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$
C. ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}.$
D. ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{48}.$
Ta có $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}={{60}^{\circ }},$ do đó tam giác $BCD$ đều cạnh a.
Gọi J là trung điểm của $CD$, khi đó $BJ\bot CD$ và $BJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Gọi I là trung điểm của $DJ$, suy ra $OI//BJ$, do đó $OI\bot CD.$
Theo định lí ba đường vuông góc suy ra $CD\bot SI.$
Ta có $\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD;$
Trong $\left( SCD \right)$ có $SI\bot CD$ ; trong $\left( ABCD \right)$ có $OI\bot CD$
Suy ra góc giữa $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SIO}={{60}^{\circ }}$
Trong tam giác vuông $SOI$ tại $O$ có
$\widehat{SIO}={{60}^{\circ }},OI=\dfrac{1}{2}BJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$, do đó $SO=OI.\tan {{60}^{\circ }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{4}.$
Diện tích mặt đáy ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{BCD}}=2\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
A. ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$
B. ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$
C. ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}.$
D. ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{48}.$
Ta có $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}={{60}^{\circ }},$ do đó tam giác $BCD$ đều cạnh a.
Gọi J là trung điểm của $CD$, khi đó $BJ\bot CD$ và $BJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Gọi I là trung điểm của $DJ$, suy ra $OI//BJ$, do đó $OI\bot CD.$
Theo định lí ba đường vuông góc suy ra $CD\bot SI.$
Ta có $\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD;$
Trong $\left( SCD \right)$ có $SI\bot CD$ ; trong $\left( ABCD \right)$ có $OI\bot CD$
Suy ra góc giữa $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SIO}={{60}^{\circ }}$
Trong tam giác vuông $SOI$ tại $O$ có
$\widehat{SIO}={{60}^{\circ }},OI=\dfrac{1}{2}BJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$, do đó $SO=OI.\tan {{60}^{\circ }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{4}.$
Diện tích mặt đáy ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{BCD}}=2\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
Đáp án B.