Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc $\widehat{BAD}=60{}^\circ $, $SA=SB=SD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\tan \varphi =\sqrt{5}$
B. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\varphi =45{}^\circ $
Từ giả thiết suay ra tam giác ABD đều cạnh a.
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD)
Do $SA=SB=SD$ nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác
ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.
Suy ra $HI=\dfrac{1}{3}AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ và $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}$
Vì ABCD là hình thoi nên $HI\bot BD$
Tam giác SBD cân tại S nên $SI\bot BD$
Do đó $\widehat{\left( SBD \right),\left( ABCD \right)}=\widehat{SI,AI}=\widehat{SIH}$
Trong tam giác vuông SHI, có $\tan \widehat{SIH}=\dfrac{SH}{HI}=\sqrt{5}$
A. $\tan \varphi =\sqrt{5}$
B. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\varphi =45{}^\circ $
Từ giả thiết suay ra tam giác ABD đều cạnh a.
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD)
Do $SA=SB=SD$ nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác
ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.
Suy ra $HI=\dfrac{1}{3}AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ và $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}$
Vì ABCD là hình thoi nên $HI\bot BD$
Tam giác SBD cân tại S nên $SI\bot BD$
Do đó $\widehat{\left( SBD \right),\left( ABCD \right)}=\widehat{SI,AI}=\widehat{SIH}$
Trong tam giác vuông SHI, có $\tan \widehat{SIH}=\dfrac{SH}{HI}=\sqrt{5}$
Đáp án A.