Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh...

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SBD$
Ta có $AS=AB=AD\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABD}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{\Delta SBD}}$
Tam giác SBD có $SB=2a,SD=2\sqrt{3}a,BD=a\sqrt{13}$
Suy ra ${{S}_{\Delta SBD}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\dfrac{\sqrt{183}{{a}^{2}}}{4}$
Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta SBD$ là
${{R}_{\Delta SBD}}=\dfrac{SB.SD.BD}{4{{S}_{\Delta SBD}}}=\dfrac{4a\sqrt{793}}{61}$
Tam giác SAH có $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{A}^{2}}-R_{\Delta SBD}^{2}}=\dfrac{6a\sqrt{61}}{61}$
Do đó thể tích khối chóp S.ABD là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{\Delta SBD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{6a\sqrt{61}}{61}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{183}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
Vậy thể tích khối chóp đã cho là ${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABD}}=\sqrt{3}{{a}^{3}}$.