Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $BD=a$. Cạnh $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$.
A. $60{}^\circ $.
B. $120{}^\circ $.
C. $45{}^\circ $.
D. $90{}^\circ $.
Ta có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}a$.
Vì tam giác $ABD$ đều nên $AC=2.AO=2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=a\sqrt{3}$.
Suy ra $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}a$.
Kẻ $BH\bot SC$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SC\bot BD \\
& SC\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SC\bot HD$.
Như vậy $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( SCD \right)=SC \\
& BH\bot SC \\
& DH\bot SC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SCD \right)} \right)=\widehat{BHD}$
Xét tam giác $SBC$ ta có $\text{cos}\widehat{C}=\dfrac{HC}{BC}=\dfrac{B{{C}^{2}}+S{{C}^{2}}-S{{B}^{2}}}{2BC.SC}$ $\Rightarrow HC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $HD=HB=\sqrt{B{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có $\text{cos}\widehat{BHD}=\dfrac{H{{B}^{2}}+H{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2HB.HD}=0$ $\Rightarrow \widehat{BHD}=90{}^\circ $. Vậy $\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SCD \right)} \right)=90{}^\circ $.
A. $60{}^\circ $.
B. $120{}^\circ $.
C. $45{}^\circ $.
D. $90{}^\circ $.
Ta có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}a$.
Vì tam giác $ABD$ đều nên $AC=2.AO=2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=a\sqrt{3}$.
Suy ra $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}a$.
Kẻ $BH\bot SC$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SC\bot BD \\
& SC\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SC\bot HD$.
Như vậy $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( SCD \right)=SC \\
& BH\bot SC \\
& DH\bot SC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SCD \right)} \right)=\widehat{BHD}$
Xét tam giác $SBC$ ta có $\text{cos}\widehat{C}=\dfrac{HC}{BC}=\dfrac{B{{C}^{2}}+S{{C}^{2}}-S{{B}^{2}}}{2BC.SC}$ $\Rightarrow HC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $HD=HB=\sqrt{B{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có $\text{cos}\widehat{BHD}=\dfrac{H{{B}^{2}}+H{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2HB.HD}=0$ $\Rightarrow \widehat{BHD}=90{}^\circ $. Vậy $\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SCD \right)} \right)=90{}^\circ $.
Đáp án D.