Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$...

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$.
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}={120}^0$ nên tam giác $ABD$ đều.
Ta có: $BD=DA=DC\Rightarrow D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Kẻ $Dt\mathrm{\perp }\left(ABCD\right);$ $d$ đi qua $G$ và $d\mathrm{\perp }\left(SAB\right)$.
Gọi $I=Dt\cap d$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
$GE={\displaystyle \frac{1}{3}}SE={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}}=ID.$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ : $R=IA=\sqrt{I{D}^2+D{A}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3a^2}{36}}+a^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{39}}{6}}$.