Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}={{120}^{0}}$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{37}}{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{41}}{6}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{35}}{6}$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$.
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}={{120}^{0}}$ nên tam giác $ABD$ đều.
Ta có: $BD=DA=DC\Rightarrow D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Kẻ $Dt \bot \left( ABCD \right); $ $d$ đi qua $G$ và $d\bot \left( SAB \right)$.
Gọi $I=Dt \cap d$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
$GE=\dfrac{1}{3}SE=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}=ID.$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ : $R=IA=\sqrt{I{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{36}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{37}}{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{41}}{6}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{35}}{6}$.
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}={{120}^{0}}$ nên tam giác $ABD$ đều.
Ta có: $BD=DA=DC\Rightarrow D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Kẻ $Dt \bot \left( ABCD \right); $ $d$ đi qua $G$ và $d\bot \left( SAB \right)$.
Gọi $I=Dt \cap d$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
$GE=\dfrac{1}{3}SE=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}=ID.$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ : $R=IA=\sqrt{I{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{36}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$.
Đáp án C.