Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$ và...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thoi cạnh

a

và

\hat{B A D} = 60^{0}

. Các mặt phẳng

(S A D)

và

(S A B)

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

. Góc tạo bởi

S C

với

(A B C D)

bằng

60^{0}

. Cho

N

là điểm nằm trên cạnh

A D

sao cho

D N = 2 A N

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

N C

và

S D

là:
A.

\frac{2 a}{\sqrt{15}}

B.

3 a \sqrt{\frac{3}{79}}

C.

2 a \sqrt{\frac{3}{79}}

D.

\frac{2 a}{\sqrt{21}}

Gọi

E

là điểm thỏa mãn

N C D E

là hình bình hành.

\Rightarrow N C / / E D \Rightarrow N C / / (S E D)

.
Kẻ

A H ⊥ D E, A K ⊥ S H \Rightarrow A K = d (A; (S E D))

.
Ta có

d (N C; S D) = d (N C; (S E D)) = d (N; (S E D))

.
Mặt khác

\frac{d (N; (S E D))}{d (A; (S E D))} = \frac{N D}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow d (N; (S E D)) = \frac{2}{3} A K

.
Vì

A B C D

là hình thoi cạnh

a

và

\hat{B A D} = 60^{0}

nên

Δ A B D

đều có cạnh bằng

a

.

\Rightarrow A C = 2. \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}

.
Ta có:

C N^{2} = C A^{2} + A N^{2} - 2 A N . A C . \cos 30^{0}

= 3 a^{2} + {(\frac{a}{3})}^{2} - 2. a \sqrt{3} . \frac{a}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{19}{9} a^{2}

\Rightarrow N C^{2} = D E^{2} = \frac{19}{9} a^{2}

\Rightarrow \cos \hat{N D E} = \frac{D N^{2} + D E^{2} - E N^{2}}{2. D N . D E} = \frac{{(\frac{2 a}{3})}^{2} + \frac{19}{9} a^{2} - a^{2}}{2. \frac{2 a}{3} . \frac{\sqrt{19} a}{3}} = \frac{7 \sqrt{19}}{38}

\Rightarrow \sin \hat{N D E} = \sqrt{\frac{27}{76}} \Rightarrow A H = A D . \sin \hat{N D E} = \sqrt{\frac{27}{16}} a

\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{{(A C . \tan 60^{0})}^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{{(3 a)}^{2}} + \frac{1}{\frac{27}{76} a^{2}}

\Rightarrow A K = a \sqrt{\frac{27}{79}} = 3 a \sqrt{\frac{3}{79}}

\Rightarrow d (N; (S E D)) = \frac{2}{3} A K = 2 a \sqrt{\frac{3}{79}}

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và...