Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$. Các mặt phẳng $\left( SAD \right)$ và $\left( SAB \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Góc tạo bởi $SC$ với $\left( ABCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Cho $N$ là điểm nằm trên cạnh $AD$ sao cho $DN=2AN$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $NC$ và $SD$ là:
A. $\dfrac{2a}{\sqrt{15}}$
B. $3a\sqrt{\dfrac{3}{79}}$
C. $2a\sqrt{\dfrac{3}{79}}$
D. $\dfrac{2a}{\sqrt{21}}$
Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $NCDE$ là hình bình hành.
$\Rightarrow NC//ED\Rightarrow NC//\left( SED \right)$.
Kẻ $AH\bot DE,\ AK\bot SH\Rightarrow AK=d\left( A;\left( SED \right) \right)$.
Ta có $d\left( NC;SD \right)=d\left( NC;\left( SED \right) \right)=d\left( N;\left( SED \right) \right)$.
Mặt khác
$\dfrac{d\left( N;\left( SED \right) \right)}{d\left( A;\left( SED \right) \right)}=\dfrac{ND}{AD}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow d\left( N;\left( SED \right) \right)=\dfrac{2}{3}AK$.
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$ nên $\Delta ABD$ đều có cạnh bằng $a$.
$\Rightarrow AC=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Ta có:
$C{{N}^{2}}=C{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}-2AN.AC.\cos {{30}^{0}}$
$\ \ \ \ \ \ \ =3{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}-2.a\sqrt{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{19}{9}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow N{{C}^{2}}=D{{E}^{2}}=\dfrac{19}{9}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow \cos \widehat{NDE}=\dfrac{D{{N}^{2}}+D{{E}^{2}}-E{{N}^{2}}}{2.DN.DE}=\dfrac{{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{19}{9}{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}{2.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{\sqrt{19}a}{3}}=\dfrac{7\sqrt{19}}{38}$
$\Rightarrow \sin \widehat{NDE}=\sqrt{\dfrac{27}{76}}\Rightarrow AH=AD.\sin \widehat{NDE}=\sqrt{\dfrac{27}{16}}a$
$\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( AC.\tan {{60}^{0}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 3a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{27}{76}{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AK=a\sqrt{\dfrac{27}{79}}=3a\sqrt{\dfrac{3}{79}}$
$\Rightarrow d\left( N;\left( SED \right) \right)=\dfrac{2}{3}AK=2a\sqrt{\dfrac{3}{79}}$
A. $\dfrac{2a}{\sqrt{15}}$
B. $3a\sqrt{\dfrac{3}{79}}$
C. $2a\sqrt{\dfrac{3}{79}}$
D. $\dfrac{2a}{\sqrt{21}}$
Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $NCDE$ là hình bình hành.
$\Rightarrow NC//ED\Rightarrow NC//\left( SED \right)$.
Kẻ $AH\bot DE,\ AK\bot SH\Rightarrow AK=d\left( A;\left( SED \right) \right)$.
Ta có $d\left( NC;SD \right)=d\left( NC;\left( SED \right) \right)=d\left( N;\left( SED \right) \right)$.
Mặt khác
$\dfrac{d\left( N;\left( SED \right) \right)}{d\left( A;\left( SED \right) \right)}=\dfrac{ND}{AD}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow d\left( N;\left( SED \right) \right)=\dfrac{2}{3}AK$.
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$ nên $\Delta ABD$ đều có cạnh bằng $a$.
$\Rightarrow AC=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Ta có:
$C{{N}^{2}}=C{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}-2AN.AC.\cos {{30}^{0}}$
$\ \ \ \ \ \ \ =3{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}-2.a\sqrt{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{19}{9}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow N{{C}^{2}}=D{{E}^{2}}=\dfrac{19}{9}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow \cos \widehat{NDE}=\dfrac{D{{N}^{2}}+D{{E}^{2}}-E{{N}^{2}}}{2.DN.DE}=\dfrac{{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{19}{9}{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}{2.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{\sqrt{19}a}{3}}=\dfrac{7\sqrt{19}}{38}$
$\Rightarrow \sin \widehat{NDE}=\sqrt{\dfrac{27}{76}}\Rightarrow AH=AD.\sin \widehat{NDE}=\sqrt{\dfrac{27}{16}}a$
$\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( AC.\tan {{60}^{0}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 3a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{27}{76}{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AK=a\sqrt{\dfrac{27}{79}}=3a\sqrt{\dfrac{3}{79}}$
$\Rightarrow d\left( N;\left( SED \right) \right)=\dfrac{2}{3}AK=2a\sqrt{\dfrac{3}{79}}$
Đáp án C.