Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và góc $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$, $SA=SB=SC$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}$.
Ta có $\Delta ABC$ đều.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
Vì $SA=SB=SC$ suy ra $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Ta có$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\cap \left( ABCD \right)=AC \\
& SO\bot AC \\
& HO\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( SAC \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( SO,HO \right)=\widehat{SOH}={{30}^{0}}$
$BO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HO=\dfrac{2}{3}BO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$\tan {{30}^{0}}=\dfrac{SH}{HO}\Rightarrow SH=HO.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a}{3}$
${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}$.
Ta có $\Delta ABC$ đều.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
Vì $SA=SB=SC$ suy ra $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Ta có$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\cap \left( ABCD \right)=AC \\
& SO\bot AC \\
& HO\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( SAC \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( SO,HO \right)=\widehat{SOH}={{30}^{0}}$
$BO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HO=\dfrac{2}{3}BO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$\tan {{30}^{0}}=\dfrac{SH}{HO}\Rightarrow SH=HO.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a}{3}$
${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$
Đáp án B.