Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng

(A B C D)

trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng

(A B C D)

góc

30^{\circ}

. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng

(S C D)

theo a.
A.

d = \frac{2 a \sqrt{21}}{21} .

B.

d = \frac{a \sqrt{21}}{7} .

C.

d = a .

D.

d = a \sqrt{3} .

Xác định

30^{\circ} = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, H D} = \hat{S D H}

và

S H = H D . \tan \hat{S D H} = \frac{2 a}{3}

.
Ta có

d (B, (S C D)) = \frac{B D}{H D} . d (H, (S C D)) = \frac{3}{2} . d (H, (S C D))

.
Ta có:

H C ⊥ A B \Rightarrow H C ⊥ C D

.
Kẻ

H K ⊥ S C

. Khi đó

d (H, (S C D)) = H K

.
Tam giác vuông SHC, có

H K = \frac{S H . H C}{\sqrt{S H^{2} + H C^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{21}}{21}

.
Vậy

d (B, (S C D)) = \frac{3}{2} H K = \frac{a \sqrt{21}}{7}

.

Đáp án B.