Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ góc $30{}^\circ $. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ theo a.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}.$
B. $d=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
C. $d=a.$
D. $d=a\sqrt{3}.$
Xác định $30{}^\circ =\widehat{SD,\left( ABCD \right)}=\widehat{SD,HD}=\widehat{SDH}$ và $SH=HD.\tan \widehat{SDH}=\dfrac{2a}{3}$.
Ta có $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{BD}{HD}.d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}.d\left( H,\left( SCD \right) \right)$.
Ta có: $HC\bot AB\Rightarrow HC\bot CD$.
Kẻ $HK\bot SC$. Khi đó $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK$.
Tam giác vuông SHC, có $HK=\dfrac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.
Vậy $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}.$
B. $d=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
C. $d=a.$
D. $d=a\sqrt{3}.$
Xác định $30{}^\circ =\widehat{SD,\left( ABCD \right)}=\widehat{SD,HD}=\widehat{SDH}$ và $SH=HD.\tan \widehat{SDH}=\dfrac{2a}{3}$.
Ta có $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{BD}{HD}.d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}.d\left( H,\left( SCD \right) \right)$.
Ta có: $HC\bot AB\Rightarrow HC\bot CD$.
Kẻ $HK\bot SC$. Khi đó $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK$.
Tam giác vuông SHC, có $HK=\dfrac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.
Vậy $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án B.