Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a,

A C = a \sqrt{3}

, SAB là tam giác đều,

\hat{S A D} = 120^{\circ}

. Tính thể tích của khối chóp SABCD.
A.

a^{3} \sqrt{3}

.
B.

\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}

.
C.

a^{3} \sqrt{6}

.
D.

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ S B D

Ta có

A S = A B = A D \Rightarrow A H ⊥ (S B D) \Rightarrow V_{S . A B D} = \frac{1}{3} A H . S_{Δ S B D}

Tam giác SBD có

S B = 2 a

,

S D = 2 \sqrt{3} a

,

B D = a \sqrt{13}

Suy ra

S_{Δ S B D} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \frac{\sqrt{183} a^{2}}{4}

Bán kính đường tròn ngoại tiếp

Δ S B D

là:

R_{Δ S B D} = \frac{S B . S D . B D}{4 S_{Δ S B D}} = \frac{4 a \sqrt{793}}{61}

Tam giác SAH có

S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{S A^{2} - R_{Δ S B D}^{2}} = \frac{6 a \sqrt{61}}{61}

Do đó thể tích khối chóp S.ABD là

V_{S . A B D} = \frac{1}{3} A H . S_{Δ S B D} = \frac{1}{3} . \frac{6 a \sqrt{61}}{61} . \frac{a^{2} \sqrt{183}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.
Vậy thể tích khối chóp đã cho là

V_{S . A B C D} = 2 V_{S . A B D} \sqrt{3} a^{3}

.

Đáp án A.