Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $AB=BC=a$, $AD=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Khi đó góc giữa $SD$ và $\left( SAC \right)$ bằng
A. $45{}^\circ $.
B. $75{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
+ Gọi $I$ là trung điểm của $AD$, suy ra $AI=ID=a$.
+ Ta có $AB=BC=IA=a$, $AB\bot AD$, do đó tứ giác $ABCI$ là hình vuông cạnh $a$ $\Rightarrow CI=a$.
+ Xét tam giác $ACD$ có: $CI=\dfrac{1}{2}AD$ $\Rightarrow AC\bot CD \left( 1 \right)$.
+ Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $SA\bot CD \left( 2 \right)$.
+ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $CD\bot \left( SAC \right)$ $\Rightarrow SC$ là hình chiếu vuông góc của $SD$ lên $\left( SAC \right)$.
Góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ chính là $\left( \widehat{SD,\left( SAC \right)} \right)=\left( \widehat{SD,SC} \right)=\widehat{DSC}$.
+ Tứ giác $ABCI$ là hình vuông cạnh $a$ $\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$.
+ Tam giác $SAC$ vuông ở $A$ nên $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{6}$.
+ Xét tam giác vuông $CID$ : $CD=\sqrt{C{{I}^{2}}+I{{D}^{2}}}$ $=a\sqrt{2}$.
+ Xét $\Delta SCD$ vuông ở $C$ có: $\tan \widehat{DSC}=\dfrac{CD}{SC}$ $=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow \alpha =\widehat{DSC}=30{}^\circ $.
Vậy góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng $30{}^\circ $.
A. $45{}^\circ $.
B. $75{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
+ Gọi $I$ là trung điểm của $AD$, suy ra $AI=ID=a$.
+ Ta có $AB=BC=IA=a$, $AB\bot AD$, do đó tứ giác $ABCI$ là hình vuông cạnh $a$ $\Rightarrow CI=a$.
+ Xét tam giác $ACD$ có: $CI=\dfrac{1}{2}AD$ $\Rightarrow AC\bot CD \left( 1 \right)$.
+ Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $SA\bot CD \left( 2 \right)$.
+ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $CD\bot \left( SAC \right)$ $\Rightarrow SC$ là hình chiếu vuông góc của $SD$ lên $\left( SAC \right)$.
Góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ chính là $\left( \widehat{SD,\left( SAC \right)} \right)=\left( \widehat{SD,SC} \right)=\widehat{DSC}$.
+ Tứ giác $ABCI$ là hình vuông cạnh $a$ $\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$.
+ Tam giác $SAC$ vuông ở $A$ nên $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{6}$.
+ Xét tam giác vuông $CID$ : $CD=\sqrt{C{{I}^{2}}+I{{D}^{2}}}$ $=a\sqrt{2}$.
+ Xét $\Delta SCD$ vuông ở $C$ có: $\tan \widehat{DSC}=\dfrac{CD}{SC}$ $=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow \alpha =\widehat{DSC}=30{}^\circ $.
Vậy góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng $30{}^\circ $.
Đáp án D.