Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B, AB=BC=a, AD=2a.$ Biết $SA=\sqrt{3}a$ và $SA\bot (ABCD)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(SBC).$ Tính khoảng cách $d$ từ $H$ đến mặt phẳng $(SCD).$
A. $d=\dfrac{3\sqrt{15}a}{60}.$
B. $d=\dfrac{3\sqrt{30}a}{40}.$
C. $d=\dfrac{3\sqrt{10}a}{20}.$
D. $d=\dfrac{3\sqrt{50}a}{80}.$
Cách 1: Kẻ $AH\bot (SBC) \Rightarrow AH\bot SB$. Ta có $d=\dfrac{HS}{BS}d(B,(SCD))=\dfrac{HS}{BS}.\dfrac{BI}{AI}d(A,(SBC))$
mà $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SH.SB}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4}$ ;
Tam giác $ADI$ có $BC$ là đường trung bình nên $\dfrac{BI}{AI}=\dfrac{1}{2}$
Vậy $d=\dfrac{3}{8}d(A,(SCD))=\dfrac{3}{8}d\left( A,SC \right)=\dfrac{3}{8}\dfrac{SA.SC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}}=\dfrac{3}{8}\dfrac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}$
Cách 2: Dùng phương pháp thể tích:
$d=\dfrac{3{{V}_{H.SCD}}}{dt(SCD)}$ ; $\dfrac{{{V}_{S.HCD}}}{{{V}_{S.BCD}}}=\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow $
${{V}_{S.HCD}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{8}SA.AB.BC$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$ ; $dt\left( SCD \right)=\dfrac{1}{2}SC.CD=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{2}$ $\Rightarrow $ $d=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}$.
A. $d=\dfrac{3\sqrt{15}a}{60}.$
B. $d=\dfrac{3\sqrt{30}a}{40}.$
C. $d=\dfrac{3\sqrt{10}a}{20}.$
D. $d=\dfrac{3\sqrt{50}a}{80}.$
mà $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SH.SB}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4}$ ;
Tam giác $ADI$ có $BC$ là đường trung bình nên $\dfrac{BI}{AI}=\dfrac{1}{2}$
Vậy $d=\dfrac{3}{8}d(A,(SCD))=\dfrac{3}{8}d\left( A,SC \right)=\dfrac{3}{8}\dfrac{SA.SC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}}=\dfrac{3}{8}\dfrac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}$
Cách 2: Dùng phương pháp thể tích:
$d=\dfrac{3{{V}_{H.SCD}}}{dt(SCD)}$ ; $\dfrac{{{V}_{S.HCD}}}{{{V}_{S.BCD}}}=\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow $
${{V}_{S.HCD}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{8}SA.AB.BC$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$ ; $dt\left( SCD \right)=\dfrac{1}{2}SC.CD=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{2}$ $\Rightarrow $ $d=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}$.
Đáp án B.