Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a,AD=2a$. Tam giác $SAD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo $a$
A. $6\pi {{a}^{2}}$
B. $10\pi {{a}^{2}}$
C. $3\pi {{a}^{2}}$
D. $5\pi {{a}^{2}}$
Gọi H là trung điểm của AD. Tam giác SAD đều và $(SAD)\bot (ABCD)\Rightarrow SH\bot (ABCD)$
Ta có $AH=a,SH=a\sqrt{3}$ và tứ giác ABCH là hình vuông cạnh $a\Rightarrow BH=a\sqrt{2}$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AD \\
& AB\bot S \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot (SAD)\Rightarrow AB\bot SA $hay $ \overset\frown{SAB}=90{}^\circ $ (1)
Chứng minh tương tự ta có $BC\bot SC$ hay $\overset\frown{SCB}=90{}^\circ $ (2)
Từ (1) và (2) ta thấy hai đỉnh A và C của hình chóp S.ABC cùng nhìn SB dưới một góc vuông.
Do đó bốn điểm S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB
Xét tam giác vuông SHB, ta có $SB=\sqrt{B{{H}^{2}}+S{{H}^{2}}}=a\sqrt{5}$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $S=4\pi {{\left( \dfrac{SB}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}$
A. $6\pi {{a}^{2}}$
B. $10\pi {{a}^{2}}$
C. $3\pi {{a}^{2}}$
D. $5\pi {{a}^{2}}$
Gọi H là trung điểm của AD. Tam giác SAD đều và $(SAD)\bot (ABCD)\Rightarrow SH\bot (ABCD)$
Ta có $AH=a,SH=a\sqrt{3}$ và tứ giác ABCH là hình vuông cạnh $a\Rightarrow BH=a\sqrt{2}$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AD \\
& AB\bot S \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot (SAD)\Rightarrow AB\bot SA $hay $ \overset\frown{SAB}=90{}^\circ $ (1)
Chứng minh tương tự ta có $BC\bot SC$ hay $\overset\frown{SCB}=90{}^\circ $ (2)
Từ (1) và (2) ta thấy hai đỉnh A và C của hình chóp S.ABC cùng nhìn SB dưới một góc vuông.
Do đó bốn điểm S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB
Xét tam giác vuông SHB, ta có $SB=\sqrt{B{{H}^{2}}+S{{H}^{2}}}=a\sqrt{5}$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $S=4\pi {{\left( \dfrac{SB}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}$
Đáp án D.