Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $SA$ vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ biết $AD=DC=a,AB=2a,SA=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{1}{\sqrt{42}}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{42}}$.
C. $\dfrac{3}{\sqrt{42}}$.
D. $\dfrac{4}{\sqrt{42}}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Ta có $MB=DC=a$.
Mà $MB//CD$ nên $MBCD$ là hình bình hành. Do đó $DM//BC$.
Suy ra $\left( \widehat{SD,BC} \right)=\left( \widehat{SD,DM} \right)$.
Lại có $SM=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$ và $DM=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{2},SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$.
Áp dụng định lí cosin trong $\Delta SDM$ ta được:
$\text{cos}\widehat{SDM}=\dfrac{S{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}-S{{M}^{2}}}{2SD.DM}=\dfrac{3}{\sqrt{42}}$.Suy ra $\cos \left( SD,BC \right)=\dfrac{3}{\sqrt{42}}$.
mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ biết $AD=DC=a,AB=2a,SA=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{1}{\sqrt{42}}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{42}}$.
C. $\dfrac{3}{\sqrt{42}}$.
D. $\dfrac{4}{\sqrt{42}}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Ta có $MB=DC=a$.
Mà $MB//CD$ nên $MBCD$ là hình bình hành. Do đó $DM//BC$.
Suy ra $\left( \widehat{SD,BC} \right)=\left( \widehat{SD,DM} \right)$.
Lại có $SM=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$ và $DM=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{2},SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$.
Áp dụng định lí cosin trong $\Delta SDM$ ta được:
$\text{cos}\widehat{SDM}=\dfrac{S{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}-S{{M}^{2}}}{2SD.DM}=\dfrac{3}{\sqrt{42}}$.Suy ra $\cos \left( SD,BC \right)=\dfrac{3}{\sqrt{42}}$.
Đáp án C.