Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=a, AD=2a.$ SA vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $45{}^\circ $. Gọi là góc hợp bởi mặt phẳng $\left( SAD \right)$ và $\left( SCD \right)$. Giá trị của $\tan \varphi $ bằng
A. $\tan \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
B. $\tan \varphi =\sqrt{3}.$
C. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
D. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
Gọi H là trung điểm của AD.
Dễ thấy tứ giác ABCH là hình vuông cạnh a và tam giác ACD là tam giác vuông cân tại C. Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AC \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot SC\Rightarrow \widehat{\left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,AC \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ .$
Suy ra
$SA=AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}.$
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& CH\bot AD \\
& CH\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right).$
Hạ $HK\bot SD\Rightarrow CK\bot SD$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SCD \right),\left( SAD \right) \right)}=\widehat{\left( CK,HK \right)}=\widehat{CKH}=\varphi $
Ta có $\Delta DKH$ đồng dạng với $\Delta DAS$, suy ra
$\dfrac{DH}{DS}=\dfrac{KH}{AS}\Rightarrow KH=\dfrac{DH.AS}{DS}=\dfrac{DH.AS}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Tam giác CHK vuông tại H, có $\tan \varphi =\dfrac{CH}{KH}=\sqrt{3}.$
A. $\tan \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
B. $\tan \varphi =\sqrt{3}.$
C. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
D. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
Gọi H là trung điểm của AD.
Dễ thấy tứ giác ABCH là hình vuông cạnh a và tam giác ACD là tam giác vuông cân tại C. Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AC \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot SC\Rightarrow \widehat{\left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,AC \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ .$
Suy ra
$SA=AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}.$
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& CH\bot AD \\
& CH\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right).$
Hạ $HK\bot SD\Rightarrow CK\bot SD$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SCD \right),\left( SAD \right) \right)}=\widehat{\left( CK,HK \right)}=\widehat{CKH}=\varphi $
Ta có $\Delta DKH$ đồng dạng với $\Delta DAS$, suy ra
$\dfrac{DH}{DS}=\dfrac{KH}{AS}\Rightarrow KH=\dfrac{DH.AS}{DS}=\dfrac{DH.AS}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Tam giác CHK vuông tại H, có $\tan \varphi =\dfrac{CH}{KH}=\sqrt{3}.$
Đáp án B.