Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $AB=2a,\ AD=CD=a$. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $45{}^\circ $. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng:
A. $\dfrac{a}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& B{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+{{\left( AB-CD \right)}^{2}}=2{{a}^{2}} \\
& A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow AC\bot BC\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ $.
Kẻ $DP//BC\left( P\in AB \right)\Rightarrow DP//\left( SBC \right)$.
$\Rightarrow d\left( D;\left( SBC \right) \right)=d\left( P;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
Kẻ $AH\bot SC\left( H\in SC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\Rightarrow d\left( D;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a}{2}$.
A. $\dfrac{a}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& B{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+{{\left( AB-CD \right)}^{2}}=2{{a}^{2}} \\
& A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow AC\bot BC\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ $.
Kẻ $DP//BC\left( P\in AB \right)\Rightarrow DP//\left( SBC \right)$.
$\Rightarrow d\left( D;\left( SBC \right) \right)=d\left( P;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
Kẻ $AH\bot SC\left( H\in SC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\Rightarrow d\left( D;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a}{2}$.
Đáp án A.