Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ với $A D = D C = a, A B = 2 a .$ Hai mặt phẳng $(S A B)$ và $\left( SAD...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang vuông tại

A

và

D

với

A D = D C = a, A B = 2 a .

Hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S A D)

cùng vuông góc với đáy. Góc giữa

S C

và mặt đáy bằng

60^{0} .

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A C

và

S B .

A.

a \sqrt{2}

.
B.

\frac{2 a \sqrt{15}}{5}

.
C.

\frac{a \sqrt{6}}{2}

.
D.

2 a

.

Gọi

M

là trung điểm

A B,

dễ thấy

A D C M

là hình vuông

\Rightarrow M C = A M = \frac{1}{2} A B

\Rightarrow Δ A C B

là tam giác vuông tại

C

Gọi

N

đối xứng với

C

qua

M \Rightarrow A C B N

là hình chữ nhật

A C / / B N \Rightarrow A C / / (S B N) \Rightarrow d (A C, S B) = d (A, (S B N)) = \frac{3 V_{S . A B N}}{S_{Δ S B N}} .

Tính

V_{S . A B N} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B N} = \frac{1}{6} S A . A N . N B = \frac{1}{6} S A . B C . A C

S A = A C . \tan 60^{0} = a \sqrt{2} . \sqrt{3} = a \sqrt{6}; B C = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - 2 a^{2}} = a \sqrt{2}

Như vậy:

V_{S . A B N} = \frac{1}{6} . a \sqrt{6} . a \sqrt{2} . a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}

Ta có:

S N = \sqrt{S A^{2} + A N^{2}} = \sqrt{6 a^{2} + 2 a^{2}} = 2 \sqrt{2} a

Xét

Δ S B N

vuông tại

N, (B N ⊥ A N; B N ⊥ S A \Rightarrow B N ⊥ S N)

Ta có:

S_{S B N} = \frac{1}{2} S N . N B = \frac{1}{2} .2 \sqrt{2} a . a \sqrt{2} = 2 a^{2}

Suy ra

d (A C, S B) = d (A, (S B N)) = \frac{3 V_{S . A B N}}{S_{Δ A B N}} = \frac{3. \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}}{2 a^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=DC=a,AB=2a. Hai mặt phẳng (SAB) và $\left( SAD...